Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9402 / 6978
↖ ↑ ↗
← N 25.760320°
E 26.586914°		 ← 2 200.41 m → N 25.760320°
E 26.608887°		 →
↑
2 200.67 m
↓
↑
2 200.67 m
↓
N 25.740529°
E 26.586914°		 ← 2 200.77 m →
4 842 777 m²		 N 25.740529°
E 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573883056640625 y=0.425933837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573883056640625 × 214)
    floor (0.573883056640625 × 16384)
    floor (9402.5)     		tx = 9402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425933837890625 × 214)
    floor (0.425933837890625 × 16384)
    floor (6978.5)     		ty = 6978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9402 / 6978 ti = "14/9402/6978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9402/6978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9402 ÷ 214
    9402 ÷ 16384     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6978 ÷ 214
    6978 ÷ 16384     		y = 0.4259033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4259033203125 × 2 - 1) × π
    0.148193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.465563169109985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465563169109985))-π/2
    2×atan(1.59291101460951)-π/2
    2×1.0101993614346-π/2
    2.02039872286921-1.57079632675     		φ = 0.44960240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44960240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.760320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9402 KachelY 6978 0.46402919 0.44960240 26.586914 25.760320
    Oben rechts KachelX + 1 9403 KachelY 6978 0.46441268 0.44960240 26.608887 25.760320
    Unten links KachelX 9402 KachelY + 1 6979 0.46402919 0.44925698 26.586914 25.740529
    Unten rechts KachelX + 1 9403 KachelY + 1 6979 0.46441268 0.44925698 26.608887 25.740529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44960240-0.44925698) × R
    0.000345420000000041 × 6371000     		dl = 2200.67082000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44960240-0.44925698) × R
    0.000345420000000041 × 6371000     		dr = 2200.67082000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46441268) × cos(0.44960240) × R
    0.000383490000000042 × 0.900619973470552 × 6371000     		do = 2200.4080393529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46441268) × cos(0.44925698) × R
    0.000383490000000042 × 0.900770041855264 × 6371000     		du = 2200.77468864994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44960240)-sin(0.44925698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900619973470552-0.900770041855264)×R²
    abs(0.46441268-0.46402919)×0.000150068384712543×R²
    0.000383490000000042×0.000150068384712543×6371000²
    0.000383490000000042×0.000150068384712543×40589641000000     		ar = 4842777.24965317m²