Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9402 / 6974
↖ ↑ ↗
← N 25.839449°
E 26.586914°		 ← 2 198.94 m → N 25.839449°
E 26.608887°		 →
↑
2 199.14 m
↓
↑
2 199.14 m
↓
N 25.819672°
E 26.586914°		 ← 2 199.31 m →
4 836 184 m²		 N 25.819672°
E 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573883056640625 y=0.425689697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573883056640625 × 214)
    floor (0.573883056640625 × 16384)
    floor (9402.5)     		tx = 9402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425689697265625 × 214)
    floor (0.425689697265625 × 16384)
    floor (6974.5)     		ty = 6974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9402 / 6974 ti = "14/9402/6974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9402/6974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9402 ÷ 214
    9402 ÷ 16384     		x = 0.5738525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6974 ÷ 214
    6974 ÷ 16384     		y = 0.4256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5738525390625 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4256591796875 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46402919} λ = 0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467097149897827))-π/2
    2×atan(1.59535638459844)-π/2
    2×1.01088989787568-π/2
    2.02177979575136-1.57079632675     		φ = 0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9402 KachelY 6974 0.46402919 0.45098347 26.586914 25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 9403 KachelY 6974 0.46441268 0.45098347 26.608887 25.839449
    Unten links KachelX 9402 KachelY + 1 6975 0.46402919 0.45063829 26.586914 25.819672
    Unten rechts KachelX + 1 9403 KachelY + 1 6975 0.46441268 0.45063829 26.608887 25.819672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45098347-0.45063829) × R
    0.00034518 × 6371000     		dl = 2199.14178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45098347-0.45063829) × R
    0.00034518 × 6371000     		dr = 2199.14178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46402919-0.46441268) × cos(0.45098347) × R
    0.000383490000000042 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 2198.93946676195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46402919-0.46441268) × cos(0.45063829) × R
    0.000383490000000042 × 0.900169284793334 × 6371000     		du = 2199.30691011103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45098347)-sin(0.45063829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.900169284793334)×R²
    abs(0.46441268-0.46402919)×0.00015039338767564×R²
    0.000383490000000042×0.00015039338767564×6371000²
    0.000383490000000042×0.00015039338767564×40589641000000     		ar = 4836183.7310764m²