Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9401 / 6967
↖ ↑ ↗
← N 25.977799°
E 26.564941°		 ← 2 196.42 m → N 25.977799°
E 26.586914°		 →
↑
2 196.53 m
↓
↑
2 196.53 m
↓
N 25.958045°
E 26.564941°		 ← 2 196.79 m →
4 824 905 m²		 N 25.958045°
E 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573822021484375 y=0.425262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573822021484375 × 214)
    floor (0.573822021484375 × 16384)
    floor (9401.5)     		tx = 9401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425262451171875 × 214)
    floor (0.425262451171875 × 16384)
    floor (6967.5)     		ty = 6967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9401 / 6967 ti = "14/9401/6967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9401/6967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9401 ÷ 214
    9401 ÷ 16384     		x = 0.57379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6967 ÷ 214
    6967 ÷ 16384     		y = 0.42523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57379150390625 × 2 - 1) × π
    0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42523193359375 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.46978161627655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46364569} λ = 0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46978161627655))-π/2
    2×atan(1.59964481867819)-π/2
    2×1.01209722548841-π/2
    2.02419445097682-1.57079632675     		φ = 0.45339812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45339812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.977799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9401 KachelY 6967 0.46364569 0.45339812 26.564941 25.977799
    Oben rechts KachelX + 1 9402 KachelY 6967 0.46402919 0.45339812 26.586914 25.977799
    Unten links KachelX 9401 KachelY + 1 6968 0.46364569 0.45305335 26.564941 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 9402 KachelY + 1 6968 0.46402919 0.45305335 26.586914 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45339812-0.45305335) × R
    0.000344769999999994 × 6371000     		dl = 2196.52966999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45339812-0.45305335) × R
    0.000344769999999994 × 6371000     		dr = 2196.52966999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46364569-0.46402919) × cos(0.45339812) × R
    0.000383499999999981 × 0.898963841291309 × 6371000     		do = 2196.41902570436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46364569-0.46402919) × cos(0.45305335) × R
    0.000383499999999981 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 2196.78787207841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45339812)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898963841291309-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46402919-0.46364569)×0.000150963704730778×R²
    0.000383499999999981×0.000150963704730778×6371000²
    0.000383499999999981×0.000150963704730778×40589641000000     		ar = 4824904.69650735m²