Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 940 / 473
↖ ↑ ↗
← N 69.099940°
W 14.765625°		 ← 6 972.81 m → N 69.099940°
W 14.589844°		 →
↑
6 982.81 m
↓
↑
6 982.81 m
↓
N 69.037142°
W 14.765625°		 ← 6 992.82 m →
48 759 657 m²		 N 69.037142°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459228515625 y=0.231201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459228515625 × 211)
    floor (0.459228515625 × 2048)
    floor (940.5)     		tx = 940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231201171875 × 211)
    floor (0.231201171875 × 2048)
    floor (473.5)     		ty = 473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 940 / 473 ti = "11/940/473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/940/473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 940 ÷ 211
    940 ÷ 2048     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 473 ÷ 211
    473 ÷ 2048     		y = 0.23095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69044682820166))-π/2
    2×atan(5.42190282304361)-π/2
    2×1.3884088935114-π/2
    2.7768177870228-1.57079632675     		φ = 1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 940 KachelY 473 -0.25770877 1.20602146 -14.765625 69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 941 KachelY 473 -0.25464081 1.20602146 -14.589844 69.099940
    Unten links KachelX 940 KachelY + 1 474 -0.25770877 1.20492543 -14.765625 69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 941 KachelY + 1 474 -0.25464081 1.20492543 -14.589844 69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20602146-1.20492543) × R
    0.00109603000000003 × 6371000     		dl = 6982.80713000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20602146-1.20492543) × R
    0.00109603000000003 × 6371000     		dr = 6982.80713000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25464081) × cos(1.20602146) × R
    0.00306795999999998 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 6972.81058990051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25464081) × cos(1.20492543) × R
    0.00306795999999998 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 6992.81982688533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20602146)-sin(1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.357762684397617)×R²
    abs(-0.25464081--0.25770877)×0.00102370124122375×R²
    0.00306795999999998×0.00102370124122375×6371000²
    0.00306795999999998×0.00102370124122375×40589641000000     		ar = 48759656.7058146m²