Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 940 / 1230
↖ ↑ ↗
← S 34.016242°
W 14.765625°		 ← 16.201 km → S 34.016242°
W 14.589844°		 →
↑
16.187 km
↓
↑
16.187 km
↓
S 34.161818°
W 14.765625°		 ← 16.173 km →
262.030 km²		 S 34.161818°
W 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459228515625 y=0.600830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459228515625 × 211)
    floor (0.459228515625 × 2048)
    floor (940.5)     		tx = 940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600830078125 × 211)
    floor (0.600830078125 × 2048)
    floor (1230.5)     		ty = 1230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 940 / 1230 ti = "11/940/1230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/940/1230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 940 ÷ 211
    940 ÷ 2048     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1230 ÷ 211
    1230 ÷ 2048     		y = 0.6005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    -0.201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.63200008459082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.63200008459082))-π/2
    2×atan(0.531527636916357)-π/2
    2×0.488550453340181-π/2
    0.977100906680362-1.57079632675     		φ = -0.59369542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59369542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.016242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 940 KachelY 1230 -0.25770877 -0.59369542 -14.765625 -34.016242
    Oben rechts KachelX + 1 941 KachelY 1230 -0.25464081 -0.59369542 -14.589844 -34.016242
    Unten links KachelX 940 KachelY + 1 1231 -0.25770877 -0.59623621 -14.765625 -34.161818
    Unten rechts KachelX + 1 941 KachelY + 1 1231 -0.25464081 -0.59623621 -14.589844 -34.161818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59369542--0.59623621) × R
    0.00254079000000007 × 6371000     		dl = 16187.3730900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59369542--0.59623621) × R
    0.00254079000000007 × 6371000     		dr = 16187.3730900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25464081) × cos(-0.59369542) × R
    0.00306795999999998 × 0.828879022418254 × 6371000     		do = 16201.2471250741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25464081) × cos(-0.59623621) × R
    0.00306795999999998 × 0.82745495969421 × 6371000     		du = 16173.4124332918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59369542)-sin(-0.59623621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828879022418254-0.82745495969421)×R²
    abs(-0.25464081--0.25770877)×0.00142406272404438×R²
    0.00306795999999998×0.00142406272404438×6371000²
    0.00306795999999998×0.00142406272404438×40589641000000     		ar = 262030487.430492m²