Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9399 / 7116
↖ ↑ ↗
← N 22.998851°
E 26.520996°		 ← 2 249.07 m → N 22.998851°
E 26.542969°		 →
↑
2 249.15 m
↓
↑
2 249.15 m
↓
N 22.978624°
E 26.520996°		 ← 2 249.41 m →
5 058 881 m²		 N 22.978624°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573699951171875 y=0.434356689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573699951171875 × 214)
    floor (0.573699951171875 × 16384)
    floor (9399.5)     		tx = 9399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434356689453125 × 214)
    floor (0.434356689453125 × 16384)
    floor (7116.5)     		ty = 7116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9399 / 7116 ti = "14/9399/7116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9399/7116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9399 ÷ 214
    9399 ÷ 16384     		x = 0.57366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7116 ÷ 214
    7116 ÷ 16384     		y = 0.434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57366943359375 × 2 - 1) × π
    0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412640831929443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46287870} λ = 0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412640831929443))-π/2
    2×atan(1.51080229652845)-π/2
    2×0.98610100563969-π/2
    1.97220201127938-1.57079632675     		φ = 0.40140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.998851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9399 KachelY 7116 0.46287870 0.40140568 26.520996 22.998851
    Oben rechts KachelX + 1 9400 KachelY 7116 0.46326220 0.40140568 26.542969 22.998851
    Unten links KachelX 9399 KachelY + 1 7117 0.46287870 0.40105265 26.520996 22.978624
    Unten rechts KachelX + 1 9400 KachelY + 1 7117 0.46326220 0.40105265 26.542969 22.978624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40140568-0.40105265) × R
    0.000353029999999976 × 6371000     		dl = 2249.15412999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40140568-0.40105265) × R
    0.000353029999999976 × 6371000     		dr = 2249.15412999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46287870-0.46326220) × cos(0.40140568) × R
    0.000383500000000037 × 0.92051268662898 × 6371000     		do = 2249.06885621804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46287870-0.46326220) × cos(0.40105265) × R
    0.000383500000000037 × 0.920650562559646 × 6371000     		du = 2249.4057255151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40140568)-sin(0.40105265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92051268662898-0.920650562559646)×R²
    abs(0.46326220-0.46287870)×0.000137875930665499×R²
    0.000383500000000037×0.000137875930665499×6371000²
    0.000383500000000037×0.000137875930665499×40589641000000     		ar = 5058881.39464366m²