Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9398 / 6982
↖ ↑ ↗
← N 25.681137°
E 26.499024°		 ← 2 201.87 m → N 25.681137°
E 26.520996°		 →
↑
2 202.07 m
↓
↑
2 202.07 m
↓
N 25.661333°
E 26.499024°		 ← 2 202.24 m →
4 849 088 m²		 N 25.661333°
E 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573638916015625 y=0.426177978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573638916015625 × 214)
    floor (0.573638916015625 × 16384)
    floor (9398.5)     		tx = 9398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426177978515625 × 214)
    floor (0.426177978515625 × 16384)
    floor (6982.5)     		ty = 6982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9398 / 6982 ti = "14/9398/6982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9398/6982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9398 ÷ 214
    9398 ÷ 16384     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6982 ÷ 214
    6982 ÷ 16384     		y = 0.4261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464029188322144))-π/2
    2×atan(1.59046939289554)-π/2
    2×1.00950836447375-π/2
    2.0190167289475-1.57079632675     		φ = 0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9398 KachelY 6982 0.46249521 0.44822040 26.499024 25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 9399 KachelY 6982 0.46287870 0.44822040 26.520996 25.681137
    Unten links KachelX 9398 KachelY + 1 6983 0.46249521 0.44787476 26.499024 25.661333
    Unten rechts KachelX + 1 9399 KachelY + 1 6983 0.46287870 0.44787476 26.520996 25.661333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44822040-0.44787476) × R
    0.000345640000000036 × 6371000     		dl = 2202.07244000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44822040-0.44787476) × R
    0.000345640000000036 × 6371000     		dr = 2202.07244000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46287870) × cos(0.44822040) × R
    0.000383489999999986 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 2201.87339966895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46287870) × cos(0.44787476) × R
    0.000383489999999986 × 0.901369474309311 × 6371000     		du = 2202.23923088695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44822040)-sin(0.44787476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901369474309311)×R²
    abs(0.46287870-0.46249521)×0.000149733547580411×R²
    0.000383489999999986×0.000149733547580411×6371000²
    0.000383489999999986×0.000149733547580411×40589641000000     		ar = 4849087.57147771m²