Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9397 / 6981
↖ ↑ ↗
← N 25.700938°
E 26.477051°		 ← 2 201.56 m → N 25.700938°
E 26.499024°		 →
↑
2 201.75 m
↓
↑
2 201.75 m
↓
N 25.681137°
E 26.477051°		 ← 2 201.93 m →
4 847 707 m²		 N 25.681137°
E 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573577880859375 y=0.426116943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573577880859375 × 214)
    floor (0.573577880859375 × 16384)
    floor (9397.5)     		tx = 9397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426116943359375 × 214)
    floor (0.426116943359375 × 16384)
    floor (6981.5)     		ty = 6981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9397 / 6981 ti = "14/9397/6981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9397/6981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9397 ÷ 214
    9397 ÷ 16384     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6981 ÷ 214
    6981 ÷ 16384     		y = 0.42608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42608642578125 × 2 - 1) × π
    0.1478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.464412683519104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464412683519104))-π/2
    2×atan(1.5910794472376)-π/2
    2×1.00968115683234-π/2
    2.01936231366467-1.57079632675     		φ = 0.44856599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44856599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.700938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9397 KachelY 6981 0.46211171 0.44856599 26.477051 25.700938
    Oben rechts KachelX + 1 9398 KachelY 6981 0.46249521 0.44856599 26.499024 25.700938
    Unten links KachelX 9397 KachelY + 1 6982 0.46211171 0.44822040 26.477051 25.681137
    Unten rechts KachelX + 1 9398 KachelY + 1 6982 0.46249521 0.44822040 26.499024 25.681137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44856599-0.44822040) × R
    0.000345590000000007 × 6371000     		dl = 2201.75389000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44856599-0.44822040) × R
    0.000345590000000007 × 6371000     		dr = 2201.75389000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46249521) × cos(0.44856599) × R
    0.000383499999999981 × 0.901069921231817 × 6371000     		do = 2201.56476554228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46249521) × cos(0.44822040) × R
    0.000383499999999981 × 0.90121974076173 × 6371000     		du = 2201.9308163786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44856599)-sin(0.44822040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901069921231817-0.90121974076173)×R²
    abs(0.46249521-0.46211171)×0.000149819529913664×R²
    0.000383499999999981×0.000149819529913664×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149819529913664×40589641000000     		ar = 4847706.81179359m²