Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9397 / 6979
↖ ↑ ↗
← N 25.740529°
E 26.477051°		 ← 2 200.83 m → N 25.740529°
E 26.499024°		 →
↑
2 200.99 m
↓
↑
2 200.99 m
↓
N 25.720735°
E 26.477051°		 ← 2 201.20 m →
4 844 411 m²		 N 25.720735°
E 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573577880859375 y=0.425994873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573577880859375 × 214)
    floor (0.573577880859375 × 16384)
    floor (9397.5)     		tx = 9397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425994873046875 × 214)
    floor (0.425994873046875 × 16384)
    floor (6979.5)     		ty = 6979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9397 / 6979 ti = "14/9397/6979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9397/6979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9397 ÷ 214
    9397 ÷ 16384     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6979 ÷ 214
    6979 ÷ 16384     		y = 0.42596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465179673913025))-π/2
    2×atan(1.59230025800482)-π/2
    2×1.0100266553286-π/2
    2.0200533106572-1.57079632675     		φ = 0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9397 KachelY 6979 0.46211171 0.44925698 26.477051 25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 9398 KachelY 6979 0.46249521 0.44925698 26.499024 25.740529
    Unten links KachelX 9397 KachelY + 1 6980 0.46211171 0.44891151 26.477051 25.720735
    Unten rechts KachelX + 1 9398 KachelY + 1 6980 0.46249521 0.44891151 26.499024 25.720735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44925698-0.44891151) × R
    0.000345469999999959 × 6371000     		dl = 2200.98936999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44925698-0.44891151) × R
    0.000345469999999959 × 6371000     		dr = 2200.98936999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46249521) × cos(0.44925698) × R
    0.000383499999999981 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 2200.83207670896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46249521) × cos(0.44891151) × R
    0.000383499999999981 × 0.90092002446388 × 6371000     		du = 2201.19852599196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44925698)-sin(0.44891151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.90092002446388)×R²
    abs(0.46249521-0.46211171)×0.000149982608615873×R²
    0.000383499999999981×0.000149982608615873×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149982608615873×40589641000000     		ar = 4844411.32966077m²