Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9395 / 6949
↖ ↑ ↗
← N 26.332807°
E 26.433105°		 ← 2 189.75 m → N 26.332807°
E 26.455078°		 →
↑
2 189.90 m
↓
↑
2 189.90 m
↓
N 26.313113°
E 26.433105°		 ← 2 190.12 m →
4 795 741 m²		 N 26.313113°
E 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573455810546875 y=0.424163818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573455810546875 × 214)
    floor (0.573455810546875 × 16384)
    floor (9395.5)     		tx = 9395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424163818359375 × 214)
    floor (0.424163818359375 × 16384)
    floor (6949.5)     		ty = 6949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9395 / 6949 ti = "14/9395/6949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9395/6949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9395 ÷ 214
    9395 ÷ 16384     		x = 0.57342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6949 ÷ 214
    6949 ÷ 16384     		y = 0.42413330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57342529296875 × 2 - 1) × π
    0.1468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46134472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42413330078125 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.476684529821838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46134472} λ = 0.46134472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476684529821838))-π/2
    2×atan(1.61072522812029)-π/2
    2×1.01519525443961-π/2
    2.03039050887921-1.57079632675     		φ = 0.45959418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46134472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.433105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45959418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.332807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9395 KachelY 6949 0.46134472 0.45959418 26.433105 26.332807
    Oben rechts KachelX + 1 9396 KachelY 6949 0.46172822 0.45959418 26.455078 26.332807
    Unten links KachelX 9395 KachelY + 1 6950 0.46134472 0.45925045 26.433105 26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 9396 KachelY + 1 6950 0.46172822 0.45925045 26.455078 26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45959418-0.45925045) × R
    0.000343730000000042 × 6371000     		dl = 2189.90383000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45959418-0.45925045) × R
    0.000343730000000042 × 6371000     		dr = 2189.90383000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46134472-0.46172822) × cos(0.45959418) × R
    0.000383500000000037 × 0.896232586755964 × 6371000     		do = 2189.74581022044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46134472-0.46172822) × cos(0.45925045) × R
    0.000383500000000037 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 2190.1182155346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45959418)-sin(0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896232586755964-0.896385007085516)×R²
    abs(0.46172822-0.46134472)×0.000152420329552094×R²
    0.000383500000000037×0.000152420329552094×6371000²
    0.000383500000000037×0.000152420329552094×40589641000000     		ar = 4795740.54965938m²