Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 939 / 917
↖ ↑ ↗
← S 80.474065°
E150.117188°		 ← 6 469.48 m → S 80.474065°
E150.468750°		 →
↑
6 449.94 m
↓
↑
6 449.94 m
↓
S 80.532071°
E150.117188°		 ← 6 430.45 m →
41 601 881 m²		 S 80.532071°
E150.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91748046875 y=0.89599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91748046875 × 210)
    floor (0.91748046875 × 1024)
    floor (939.5)     		tx = 939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89599609375 × 210)
    floor (0.89599609375 × 1024)
    floor (917.5)     		ty = 917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 939 / 917 ti = "10/939/917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/939/917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 939 ÷ 210
    939 ÷ 1024     		x = 0.9169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 917 ÷ 210
    917 ÷ 1024     		y = 0.8955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62003919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8955078125 × 2 - 1) × π
    -0.791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62003919} λ = 2.62003919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48504887630371))-π/2
    2×atan(0.0833214819665001)-π/2
    2×0.0831294622436292-π/2
    0.166258924487258-1.57079632675     		φ = -1.40453740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62003919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40453740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.474065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 939 KachelY 917 2.62003919 -1.40453740 150.117188 -80.474065
    Oben rechts KachelX + 1 940 KachelY 917 2.62617511 -1.40453740 150.468750 -80.474065
    Unten links KachelX 939 KachelY + 1 918 2.62003919 -1.40554979 150.117188 -80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 940 KachelY + 1 918 2.62617511 -1.40554979 150.468750 -80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40453740--1.40554979) × R
    0.00101239000000009 × 6371000     		dl = 6449.93669000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40453740--1.40554979) × R
    0.00101239000000009 × 6371000     		dr = 6449.93669000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62003919-2.62617511) × cos(-1.40453740) × R
    0.00613592000000018 × 0.165494028999507 × 6371000     		do = 6469.48369792943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62003919-2.62617511) × cos(-1.40554979) × R
    0.00613592000000018 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 6430.4498194356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40453740)-sin(-1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165494028999507-0.164495514416111)×R²
    abs(2.62617511-2.62003919)×0.000998514583395421×R²
    0.00613592000000018×0.000998514583395421×6371000²
    0.00613592000000018×0.000998514583395421×40589641000000     		ar = 41601880.7993808m²