Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 939 / 469
↖ ↑ ↗
← N 69.349338°
W 14.941406°		 ← 6 893.26 m → N 69.349338°
W 14.765625°		 →
↑
6 903.17 m
↓
↑
6 903.17 m
↓
N 69.287257°
W 14.941406°		 ← 6 913.08 m →
47 653 754 m²		 N 69.287257°
W 14.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458740234375 y=0.229248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458740234375 × 211)
    floor (0.458740234375 × 2048)
    floor (939.5)     		tx = 939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229248046875 × 211)
    floor (0.229248046875 × 2048)
    floor (469.5)     		ty = 469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 939 / 469 ti = "11/939/469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/939/469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 939 ÷ 211
    939 ÷ 2048     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 469 ÷ 211
    469 ÷ 2048     		y = 0.22900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22900390625 × 2 - 1) × π
    0.5419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70271867450439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70271867450439))-π/2
    2×atan(5.48884952077994)-π/2
    2×1.39058531006118-π/2
    2.78117062012236-1.57079632675     		φ = 1.21037429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21037429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.349338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 939 KachelY 469 -0.26077673 1.21037429 -14.941406 69.349338
    Oben rechts KachelX + 1 940 KachelY 469 -0.25770877 1.21037429 -14.765625 69.349338
    Unten links KachelX 939 KachelY + 1 470 -0.26077673 1.20929076 -14.941406 69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 940 KachelY + 1 470 -0.25770877 1.20929076 -14.765625 69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21037429-1.20929076) × R
    0.00108353000000005 × 6371000     		dl = 6903.16963000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21037429-1.20929076) × R
    0.00108353000000005 × 6371000     		dr = 6903.16963000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.25770877) × cos(1.21037429) × R
    0.00306796000000004 × 0.352669184786511 × 6371000     		do = 6893.26242019632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.25770877) × cos(1.20929076) × R
    0.00306796000000004 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 6913.07624906567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21037429)-sin(1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352669184786511-0.353682888668491)×R²
    abs(-0.25770877--0.26077673)×0.00101370388197936×R²
    0.00306796000000004×0.00101370388197936×6371000²
    0.00306796000000004×0.00101370388197936×40589641000000     		ar = 47653753.563849m²