Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9389 / 7134
↖ ↑ ↗
← N 22.634293°
E 26.301269°		 ← 2 255.10 m → N 22.634293°
E 26.323242°		 →
↑
2 255.21 m
↓
↑
2 255.21 m
↓
N 22.614011°
E 26.301269°		 ← 2 255.43 m →
5 086 085 m²		 N 22.614011°
E 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573089599609375 y=0.435455322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573089599609375 × 214)
    floor (0.573089599609375 × 16384)
    floor (9389.5)     		tx = 9389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435455322265625 × 214)
    floor (0.435455322265625 × 16384)
    floor (7134.5)     		ty = 7134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9389 / 7134 ti = "14/9389/7134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9389/7134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9389 ÷ 214
    9389 ÷ 16384     		x = 0.57305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7134 ÷ 214
    7134 ÷ 16384     		y = 0.4354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57305908203125 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.405737918384155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45904375} λ = 0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405737918384155))-π/2
    2×atan(1.50040927123815)-π/2
    2×0.982919629075493-π/2
    1.96583925815099-1.57079632675     		φ = 0.39504293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39504293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.634293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9389 KachelY 7134 0.45904375 0.39504293 26.301269 22.634293
    Oben rechts KachelX + 1 9390 KachelY 7134 0.45942725 0.39504293 26.323242 22.634293
    Unten links KachelX 9389 KachelY + 1 7135 0.45904375 0.39468895 26.301269 22.614011
    Unten rechts KachelX + 1 9390 KachelY + 1 7135 0.45942725 0.39468895 26.323242 22.614011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39504293-0.39468895) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dl = 2255.2065800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39504293-0.39468895) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dr = 2255.2065800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45904375-0.45942725) × cos(0.39504293) × R
    0.000383500000000037 × 0.922980043697042 × 6371000     		do = 2255.09729669426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45904375-0.45942725) × cos(0.39468895) × R
    0.000383500000000037 × 0.923116214297387 × 6371000     		du = 2255.42999939441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39504293)-sin(0.39468895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922980043697042-0.923116214297387)×R²
    abs(0.45942725-0.45904375)×0.000136170600344765×R²
    0.000383500000000037×0.000136170600344765×6371000²
    0.000383500000000037×0.000136170600344765×40589641000000     		ar = 5086085.47181279m²