Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9388 / 7131
↖ ↑ ↗
← N 22.695120°
E 26.279297°		 ← 2 254.04 m → N 22.695120°
E 26.301269°		 →
↑
2 254.25 m
↓
↑
2 254.25 m
↓
N 22.674847°
E 26.279297°		 ← 2 254.37 m →
5 081 545 m²		 N 22.674847°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573028564453125 y=0.435272216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573028564453125 × 214)
    floor (0.573028564453125 × 16384)
    floor (9388.5)     		tx = 9388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435272216796875 × 214)
    floor (0.435272216796875 × 16384)
    floor (7131.5)     		ty = 7131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9388 / 7131 ti = "14/9388/7131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9388/7131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9388 ÷ 214
    9388 ÷ 16384     		x = 0.572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7131 ÷ 214
    7131 ÷ 16384     		y = 0.43524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43524169921875 × 2 - 1) × π
    0.1295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.406888403975037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45866026} λ = 0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.406888403975037))-π/2
    2×atan(1.50213646384973)-π/2
    2×0.983450449073822-π/2
    1.96690089814764-1.57079632675     		φ = 0.39610457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39610457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.695120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9388 KachelY 7131 0.45866026 0.39610457 26.279297 22.695120
    Oben rechts KachelX + 1 9389 KachelY 7131 0.45904375 0.39610457 26.301269 22.695120
    Unten links KachelX 9388 KachelY + 1 7132 0.45866026 0.39575074 26.279297 22.674847
    Unten rechts KachelX + 1 9389 KachelY + 1 7132 0.45904375 0.39575074 26.301269 22.674847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39610457-0.39575074) × R
    0.000353829999999999 × 6371000     		dl = 2254.25093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39610457-0.39575074) × R
    0.000353829999999999 × 6371000     		dr = 2254.25093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45866026-0.45904375) × cos(0.39610457) × R
    0.000383489999999986 × 0.922570953806031 × 6371000     		do = 2254.03899916322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45866026-0.45904375) × cos(0.39575074) × R
    0.000383489999999986 × 0.922707413385301 × 6371000     		du = 2254.37239922553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39610457)-sin(0.39575074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922570953806031-0.922707413385301)×R²
    abs(0.45904375-0.45866026)×0.000136459579270332×R²
    0.000383489999999986×0.000136459579270332×6371000²
    0.000383489999999986×0.000136459579270332×40589641000000     		ar = 5081545.34683558m²