Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9388 / 6972
↖ ↑ ↗
← N 25.878994°
E 26.279297°		 ← 2 198.20 m → N 25.878994°
E 26.301269°		 →
↑
2 198.44 m
↓
↑
2 198.44 m
↓
N 25.859223°
E 26.279297°		 ← 2 198.57 m →
4 833 026 m²		 N 25.859223°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573028564453125 y=0.425567626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573028564453125 × 214)
    floor (0.573028564453125 × 16384)
    floor (9388.5)     		tx = 9388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425567626953125 × 214)
    floor (0.425567626953125 × 16384)
    floor (6972.5)     		ty = 6972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9388 / 6972 ti = "14/9388/6972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9388/6972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9388 ÷ 214
    9388 ÷ 16384     		x = 0.572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6972 ÷ 214
    6972 ÷ 16384     		y = 0.425537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572998046875 × 2 - 1) × π
    0.14599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45866026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425537109375 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.467864140291748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45866026} λ = 0.45866026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467864140291748))-π/2
    2×atan(1.59658047699385)-π/2
    2×1.01123499308573-π/2
    2.02246998617146-1.57079632675     		φ = 0.45167366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45866026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45167366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.878994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9388 KachelY 6972 0.45866026 0.45167366 26.279297 25.878994
    Oben rechts KachelX + 1 9389 KachelY 6972 0.45904375 0.45167366 26.301269 25.878994
    Unten links KachelX 9388 KachelY + 1 6973 0.45866026 0.45132859 26.279297 25.859223
    Unten rechts KachelX + 1 9389 KachelY + 1 6973 0.45904375 0.45132859 26.301269 25.859223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45167366-0.45132859) × R
    0.000345070000000003 × 6371000     		dl = 2198.44097000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45167366-0.45132859) × R
    0.000345070000000003 × 6371000     		dr = 2198.44097000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45866026-0.45904375) × cos(0.45167366) × R
    0.000383489999999986 × 0.899717857138809 × 6371000     		do = 2198.20397538857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45866026-0.45904375) × cos(0.45132859) × R
    0.000383489999999986 × 0.899868416951114 × 6371000     		du = 2198.57182534877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45167366)-sin(0.45132859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899717857138809-0.899868416951114)×R²
    abs(0.45904375-0.45866026)×0.000150559812304385×R²
    0.000383489999999986×0.000150559812304385×6371000²
    0.000383489999999986×0.000150559812304385×40589641000000     		ar = 4833026.07607969m²