Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9384 / 6984
↖ ↑ ↗
← N 25.641526°
E 26.191406°		 ← 2 202.66 m → N 25.641526°
E 26.213379°		 →
↑
2 202.84 m
↓
↑
2 202.84 m
↓
N 25.621716°
E 26.191406°		 ← 2 203.03 m →
4 852 508 m²		 N 25.621716°
E 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572784423828125 y=0.426300048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572784423828125 × 214)
    floor (0.572784423828125 × 16384)
    floor (9384.5)     		tx = 9384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426300048828125 × 214)
    floor (0.426300048828125 × 16384)
    floor (6984.5)     		ty = 6984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9384 / 6984 ti = "14/9384/6984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9384/6984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9384 ÷ 214
    9384 ÷ 16384     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6984 ÷ 214
    6984 ÷ 16384     		y = 0.42626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    0.1474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.463262197928223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463262197928223))-π/2
    2×atan(1.58924998584589)-π/2
    2×1.00916269361496-π/2
    2.01832538722992-1.57079632675     		φ = 0.44752906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44752906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.641526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9384 KachelY 6984 0.45712627 0.44752906 26.191406 25.641526
    Oben rechts KachelX + 1 9385 KachelY 6984 0.45750977 0.44752906 26.213379 25.641526
    Unten links KachelX 9384 KachelY + 1 6985 0.45712627 0.44718330 26.191406 25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 9385 KachelY + 1 6985 0.45750977 0.44718330 26.213379 25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44752906-0.44718330) × R
    0.000345759999999973 × 6371000     		dl = 2202.83695999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44752906-0.44718330) × R
    0.000345759999999973 × 6371000     		dr = 2202.83695999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45750977) × cos(0.44752906) × R
    0.000383499999999981 × 0.901519126137334 × 6371000     		do = 2202.66229823003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45750977) × cos(0.44718330) × R
    0.000383499999999981 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 2203.02773947953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44752906)-sin(0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901519126137334-0.901668696171821)×R²
    abs(0.45750977-0.45712627)×0.000149570034487456×R²
    0.000383499999999981×0.000149570034487456×6371000²
    0.000383499999999981×0.000149570034487456×40589641000000     		ar = 4852508.4730277m²