Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9381 / 5347
↖ ↑ ↗
← N 81.746088°
W128.468628°		 ← 87.68 m → N 81.746088°
W128.463135°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
N 81.745300°
W128.468628°		 ← 87.69 m →
7 687 m²		 N 81.745300°
W128.463135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143150329589844 y=0.0815963745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143150329589844 × 216)
    floor (0.143150329589844 × 65536)
    floor (9381.5)     		tx = 9381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0815963745117188 × 216)
    floor (0.0815963745117188 × 65536)
    floor (5347.5)     		ty = 5347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9381 / 5347 ti = "16/9381/5347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9381/5347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9381 ÷ 216
    9381 ÷ 65536     		x = 0.143142700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5347 ÷ 216
    5347 ÷ 65536     		y = 0.0815887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143142700195312 × 2 - 1) × π
    -0.713714599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24220054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0815887451171875 × 2 - 1) × π
    0.836822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62895544896312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24220054} λ = -2.24220054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62895544896312))-π/2
    2×atan(13.8592856075026)-π/2
    2×1.49876736086025-π/2
    2.9975347217205-1.57079632675     		φ = 1.42673839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24220054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.468628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42673839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.746088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9381 KachelY 5347 -2.24220054 1.42673839 -128.468628 81.746088
    Oben rechts KachelX + 1 9382 KachelY 5347 -2.24210467 1.42673839 -128.463135 81.746088
    Unten links KachelX 9381 KachelY + 1 5348 -2.24220054 1.42672463 -128.468628 81.745300
    Unten rechts KachelX + 1 9382 KachelY + 1 5348 -2.24210467 1.42672463 -128.463135 81.745300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42673839-1.42672463) × R
    1.37599999998628e-05 × 6371000     		dl = 87.6649599991257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42673839-1.42672463) × R
    1.37599999998628e-05 × 6371000     		dr = 87.6649599991257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24220054--2.24210467) × cos(1.42673839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143560188625965 × 6371000     		do = 87.6848074716305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24220054--2.24210467) × cos(1.42672463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143573806080621 × 6371000     		du = 87.6931248463932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42673839)-sin(1.42672463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143560188625965-0.143573806080621)×R²
    abs(-2.24210467--2.24220054)×1.36174546564727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36174546564727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36174546564727e-05×40589641000000     		ar = 7687.24971053441m²