Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9380 / 7075
↖ ↑ ↗
← N 23.825552°
E 26.103515°		 ← 2 235.06 m → N 23.825552°
E 26.125488°		 →
↑
2 235.20 m
↓
↑
2 235.20 m
↓
N 23.805450°
E 26.103515°		 ← 2 235.41 m →
4 996 200 m²		 N 23.805450°
E 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572540283203125 y=0.431854248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572540283203125 × 214)
    floor (0.572540283203125 × 16384)
    floor (9380.5)     		tx = 9380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431854248046875 × 214)
    floor (0.431854248046875 × 16384)
    floor (7075.5)     		ty = 7075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9380 / 7075 ti = "14/9380/7075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9380/7075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9380 ÷ 214
    9380 ÷ 16384     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7075 ÷ 214
    7075 ÷ 16384     		y = 0.43182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43182373046875 × 2 - 1) × π
    0.1363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.428364135004822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428364135004822))-π/2
    2×atan(1.53474483354808)-π/2
    2×0.993315321595837-π/2
    1.98663064319167-1.57079632675     		φ = 0.41583432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41583432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.825552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9380 KachelY 7075 0.45559229 0.41583432 26.103515 23.825552
    Oben rechts KachelX + 1 9381 KachelY 7075 0.45597579 0.41583432 26.125488 23.825552
    Unten links KachelX 9380 KachelY + 1 7076 0.45559229 0.41548348 26.103515 23.805450
    Unten rechts KachelX + 1 9381 KachelY + 1 7076 0.45597579 0.41548348 26.125488 23.805450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41583432-0.41548348) × R
    0.000350839999999963 × 6371000     		dl = 2235.20163999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41583432-0.41548348) × R
    0.000350839999999963 × 6371000     		dr = 2235.20163999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45597579) × cos(0.41583432) × R
    0.000383499999999981 × 0.91477961260936 × 6371000     		do = 2235.06135972667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45597579) × cos(0.41548348) × R
    0.000383499999999981 × 0.914921279279134 × 6371000     		du = 2235.40749085509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41583432)-sin(0.41548348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91477961260936-0.914921279279134)×R²
    abs(0.45597579-0.45559229)×0.000141666669773444×R²
    0.000383499999999981×0.000141666669773444×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141666669773444×40589641000000     		ar = 4996199.70444214m²