Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9380 / 6830
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
E 26.103515°		 ← 2 144.09 m → N 28.652031°
E 26.125488°		 →
↑
2 144.22 m
↓
↑
2 144.22 m
↓
N 28.632747°
E 26.103515°		 ← 2 144.49 m →
4 597 840 m²		 N 28.632747°
E 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572540283203125 y=0.416900634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572540283203125 × 214)
    floor (0.572540283203125 × 16384)
    floor (9380.5)     		tx = 9380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416900634765625 × 214)
    floor (0.416900634765625 × 16384)
    floor (6830.5)     		ty = 6830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9380 / 6830 ti = "14/9380/6830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9380/6830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9380 ÷ 214
    9380 ÷ 16384     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6830 ÷ 214
    6830 ÷ 16384     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9380 KachelY 6830 0.45559229 0.50007227 26.103515 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 9381 KachelY 6830 0.45597579 0.50007227 26.125488 28.652031
    Unten links KachelX 9380 KachelY + 1 6831 0.45559229 0.49973571 26.103515 28.632747
    Unten rechts KachelX + 1 9381 KachelY + 1 6831 0.45597579 0.49973571 26.125488 28.632747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.49973571) × R
    0.000336559999999986 × 6371000     		dl = 2144.22375999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.49973571) × R
    0.000336559999999986 × 6371000     		dr = 2144.22375999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45597579) × cos(0.50007227) × R
    0.000383499999999981 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 2144.09394492425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45597579) × cos(0.49973571) × R
    0.000383499999999981 × 0.877709238615274 × 6371000     		du = 2144.48811195996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.49973571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877709238615274)×R²
    abs(0.45597579-0.45559229)×0.00016132710033212×R²
    0.000383499999999981×0.00016132710033212×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016132710033212×40589641000000     		ar = 4597839.81494073m²