Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9380 / 5348
↖ ↑ ↗
← N 81.745300°
W128.474121°		 ← 87.70 m → N 81.745300°
W128.468628°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
N 81.744511°
W128.474121°		 ← 87.71 m →
7 689 m²		 N 81.744511°
W128.468628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143135070800781 y=0.0816116333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143135070800781 × 216)
    floor (0.143135070800781 × 65536)
    floor (9380.5)     		tx = 9380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0816116333007812 × 216)
    floor (0.0816116333007812 × 65536)
    floor (5348.5)     		ty = 5348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9380 / 5348 ti = "16/9380/5348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9380/5348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9380 ÷ 216
    9380 ÷ 65536     		x = 0.14312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5348 ÷ 216
    5348 ÷ 65536     		y = 0.08160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.7137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24229642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08160400390625 × 2 - 1) × π
    0.8367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.62885957516388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24229642} λ = -2.24229642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62885957516388))-π/2
    2×atan(13.8579569288305)-π/2
    2×1.49876047870365-π/2
    2.99752095740729-1.57079632675     		φ = 1.42672463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24229642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.474121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42672463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.745300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9380 KachelY 5348 -2.24229642 1.42672463 -128.474121 81.745300
    Oben rechts KachelX + 1 9381 KachelY 5348 -2.24220054 1.42672463 -128.468628 81.745300
    Unten links KachelX 9380 KachelY + 1 5349 -2.24229642 1.42671087 -128.474121 81.744511
    Unten rechts KachelX + 1 9381 KachelY + 1 5349 -2.24220054 1.42671087 -128.468628 81.744511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42672463-1.42671087) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dl = 87.6649600005404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42672463-1.42671087) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dr = 87.6649600005404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24229642--2.24220054) × cos(1.42672463) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.143573806080621 × 6371000     		do = 87.7022719339292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24229642--2.24220054) × cos(1.42671087) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.143587423508094 × 6371000     		du = 87.7105901596548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42672463)-sin(1.42671087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143573806080621-0.143587423508094)×R²
    abs(-2.24220054--2.24229642)×1.36174274727452e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.36174274727452e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.36174274727452e-05×40589641000000     		ar = 7688.78076971174m²