Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 938 / 932
↖ ↑ ↗
← S 81.308321°
E149.765625°		 ← 5 907.48 m → S 81.308321°
E150.117188°		 →
↑
5 889.61 m
↓
↑
5 889.61 m
↓
S 81.361287°
E149.765625°		 ← 5 871.75 m →
34 687 520 m²		 S 81.361287°
E150.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91650390625 y=0.91064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91650390625 × 210)
    floor (0.91650390625 × 1024)
    floor (938.5)     		tx = 938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91064453125 × 210)
    floor (0.91064453125 × 1024)
    floor (932.5)     		ty = 932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 938 / 932 ti = "10/938/932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/938/932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 938 ÷ 210
    938 ÷ 1024     		x = 0.916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 932 ÷ 210
    932 ÷ 1024     		y = 0.91015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916015625 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61390326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91015625 × 2 - 1) × π
    -0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61390326} λ = 2.61390326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57708772357422))-π/2
    2×atan(0.0759950005136877)-π/2
    2×0.0758492089119329-π/2
    0.151698417823866-1.57079632675     		φ = -1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61390326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 938 KachelY 932 2.61390326 -1.41909791 149.765625 -81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 939 KachelY 932 2.62003919 -1.41909791 150.117188 -81.308321
    Unten links KachelX 938 KachelY + 1 933 2.61390326 -1.42002235 149.765625 -81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 939 KachelY + 1 933 2.62003919 -1.42002235 150.117188 -81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41909791--1.42002235) × R
    0.000924439999999915 × 6371000     		dl = 5889.60723999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41909791--1.42002235) × R
    0.000924439999999915 × 6371000     		dr = 5889.60723999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61390326-2.62003919) × cos(-1.41909791) × R
    0.00613593000000012 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 5907.47750364276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61390326-2.62003919) × cos(-1.42002235) × R
    0.00613593000000012 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 5871.75178368605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41909791)-sin(-1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.150203373507267)×R²
    abs(2.62003919-2.61390326)×0.000913888027995857×R²
    0.00613593000000012×0.000913888027995857×6371000²
    0.00613593000000012×0.000913888027995857×40589641000000     		ar = 34687519.5164337m²