Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 938 / 481
↖ ↑ ↗
← N 68.592486°
W 15.117188°		 ← 7 134.28 m → N 68.592486°
W 14.941406°		 →
↑
7 144.44 m
↓
↑
7 144.44 m
↓
N 68.528235°
W 15.117188°		 ← 7 154.68 m →
51 043 328 m²		 N 68.528235°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458251953125 y=0.235107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458251953125 × 211)
    floor (0.458251953125 × 2048)
    floor (938.5)     		tx = 938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235107421875 × 211)
    floor (0.235107421875 × 2048)
    floor (481.5)     		ty = 481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 938 / 481 ti = "11/938/481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/938/481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 938 ÷ 211
    938 ÷ 2048     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 481 ÷ 211
    481 ÷ 2048     		y = 0.23486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23486328125 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66590313559619))-π/2
    2×atan(5.29044908571156)-π/2
    2×1.38398052988635-π/2
    2.76796105977269-1.57079632675     		φ = 1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 938 KachelY 481 -0.26384470 1.19716473 -15.117188 68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 939 KachelY 481 -0.26077673 1.19716473 -14.941406 68.592486
    Unten links KachelX 938 KachelY + 1 482 -0.26384470 1.19604333 -15.117188 68.528235
    Unten rechts KachelX + 1 939 KachelY + 1 482 -0.26077673 1.19604333 -14.941406 68.528235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19716473-1.19604333) × R
    0.00112139999999994 × 6371000     		dl = 7144.43939999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19716473-1.19604333) × R
    0.00112139999999994 × 6371000     		dr = 7144.43939999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26077673) × cos(1.19716473) × R
    0.00306796999999998 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 7134.28150624867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26077673) × cos(1.19604333) × R
    0.00306796999999998 × 0.366042679550149 × 6371000     		du = 7154.68371048075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19716473)-sin(1.19604333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.366042679550149)×R²
    abs(-0.26077673--0.26384470)×0.00104380260652204×R²
    0.00306796999999998×0.00104380260652204×6371000²
    0.00306796999999998×0.00104380260652204×40589641000000     		ar = 51043328.3888925m²