Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 938 / 470
↖ ↑ ↗
← N 69.287257°
W 15.117188°		 ← 6 913.10 m → N 69.287257°
W 14.941406°		 →
↑
6 922.98 m
↓
↑
6 922.98 m
↓
N 69.224997°
W 15.117188°		 ← 6 932.96 m →
47 928 027 m²		 N 69.224997°
W 14.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458251953125 y=0.229736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458251953125 × 211)
    floor (0.458251953125 × 2048)
    floor (938.5)     		tx = 938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229736328125 × 211)
    floor (0.229736328125 × 2048)
    floor (470.5)     		ty = 470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 938 / 470 ti = "11/938/470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/938/470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 938 ÷ 211
    938 ÷ 2048     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 470 ÷ 211
    470 ÷ 2048     		y = 0.2294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2294921875 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69965071292871))-π/2
    2×atan(5.47203574655026)-π/2
    2×1.39004354512992-π/2
    2.78008709025984-1.57079632675     		φ = 1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 938 KachelY 470 -0.26384470 1.20929076 -15.117188 69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 939 KachelY 470 -0.26077673 1.20929076 -14.941406 69.287257
    Unten links KachelX 938 KachelY + 1 471 -0.26384470 1.20820412 -15.117188 69.224997
    Unten rechts KachelX + 1 939 KachelY + 1 471 -0.26077673 1.20820412 -14.941406 69.224997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20929076-1.20820412) × R
    0.00108664000000003 × 6371000     		dl = 6922.98344000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20929076-1.20820412) × R
    0.00108664000000003 × 6371000     		dr = 6922.98344000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26077673) × cos(1.20929076) × R
    0.00306796999999998 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 6913.09878220237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26077673) × cos(1.20820412) × R
    0.00306796999999998 × 0.354699085104731 × 6371000     		du = 6932.96139521228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20929076)-sin(1.20820412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.354699085104731)×R²
    abs(-0.26077673--0.26384470)×0.00101619643623974×R²
    0.00306796999999998×0.00101619643623974×6371000²
    0.00306796999999998×0.00101619643623974×40589641000000     		ar = 47928027.3748081m²