Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9378 / 7078
↖ ↑ ↗
← N 23.765237°
E 26.059570°		 ← 2 236.10 m → N 23.765237°
E 26.081543°		 →
↑
2 236.22 m
↓
↑
2 236.22 m
↓
N 23.745126°
E 26.059570°		 ← 2 236.44 m →
5 000 798 m²		 N 23.745126°
E 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572418212890625 y=0.432037353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572418212890625 × 214)
    floor (0.572418212890625 × 16384)
    floor (9378.5)     		tx = 9378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432037353515625 × 214)
    floor (0.432037353515625 × 16384)
    floor (7078.5)     		ty = 7078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9378 / 7078 ti = "14/9378/7078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9378/7078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9378 ÷ 214
    9378 ÷ 16384     		x = 0.5723876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7078 ÷ 214
    7078 ÷ 16384     		y = 0.4320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5723876953125 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4320068359375 × 2 - 1) × π
    0.135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.42721364941394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45482530} λ = 0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42721364941394))-π/2
    2×atan(1.53298014704925)-π/2
    2×0.992788979013213-π/2
    1.98557795802643-1.57079632675     		φ = 0.41478163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41478163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.765237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9378 KachelY 7078 0.45482530 0.41478163 26.059570 23.765237
    Oben rechts KachelX + 1 9379 KachelY 7078 0.45520880 0.41478163 26.081543 23.765237
    Unten links KachelX 9378 KachelY + 1 7079 0.45482530 0.41443063 26.059570 23.745126
    Unten rechts KachelX + 1 9379 KachelY + 1 7079 0.45520880 0.41443063 26.081543 23.745126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41478163-0.41443063) × R
    0.00035099999999999 × 6371000     		dl = 2236.22099999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41478163-0.41443063) × R
    0.00035099999999999 × 6371000     		dr = 2236.22099999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45482530-0.45520880) × cos(0.41478163) × R
    0.000383500000000037 × 0.91520434326016 × 6371000     		do = 2236.09909499438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45482530-0.45520880) × cos(0.41443063) × R
    0.000383500000000037 × 0.915345736400686 × 6371000     		du = 2236.44455781468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41478163)-sin(0.41443063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91520434326016-0.915345736400686)×R²
    abs(0.45520880-0.45482530)×0.000141393140525969×R²
    0.000383500000000037×0.000141393140525969×6371000²
    0.000383500000000037×0.000141393140525969×40589641000000     		ar = 5000798.07125617m²