Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9377 / 6943
↖ ↑ ↗
← N 26.450902°
E 26.037598°		 ← 2 187.45 m → N 26.450902°
E 26.059570°		 →
↑
2 187.61 m
↓
↑
2 187.61 m
↓
N 26.431228°
E 26.037598°		 ← 2 187.82 m →
4 785 697 m²		 N 26.431228°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572357177734375 y=0.423797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572357177734375 × 214)
    floor (0.572357177734375 × 16384)
    floor (9377.5)     		tx = 9377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423797607421875 × 214)
    floor (0.423797607421875 × 16384)
    floor (6943.5)     		ty = 6943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9377 / 6943 ti = "14/9377/6943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9377/6943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9377 ÷ 214
    9377 ÷ 16384     		x = 0.57232666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6943 ÷ 214
    6943 ÷ 16384     		y = 0.42376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57232666015625 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45444181} λ = 0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478985501003601))-π/2
    2×atan(1.61443572769113)-π/2
    2×1.01622583035441-π/2
    2.03245166070882-1.57079632675     		φ = 0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9377 KachelY 6943 0.45444181 0.46165533 26.037598 26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 9378 KachelY 6943 0.45482530 0.46165533 26.059570 26.450902
    Unten links KachelX 9377 KachelY + 1 6944 0.45444181 0.46131196 26.037598 26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 9378 KachelY + 1 6944 0.45482530 0.46131196 26.059570 26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46165533-0.46131196) × R
    0.000343369999999954 × 6371000     		dl = 2187.61026999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46165533-0.46131196) × R
    0.000343369999999954 × 6371000     		dr = 2187.61026999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45444181-0.45482530) × cos(0.46165533) × R
    0.000383489999999986 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 2187.45024479269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45444181-0.45482530) × cos(0.46131196) × R
    0.000383489999999986 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 2187.82379957329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46165533)-sin(0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895469284374037)×R²
    abs(0.45482530-0.45444181)×0.000152894777049162×R²
    0.000383489999999986×0.000152894777049162×6371000²
    0.000383489999999986×0.000152894777049162×40589641000000     		ar = 4785697.26377898m²