Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9377 / 3998
↖ ↑ ↗
← N 82.744590°
W128.490601°		 ← 77.15 m → N 82.744590°
W128.485107°		 →
↑
77.15 m
↓
↑
77.15 m
↓
N 82.743896°
W128.490601°		 ← 77.15 m →
5 952 m²		 N 82.743896°
W128.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143089294433594 y=0.0610122680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143089294433594 × 216)
    floor (0.143089294433594 × 65536)
    floor (9377.5)     		tx = 9377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0610122680664062 × 216)
    floor (0.0610122680664062 × 65536)
    floor (3998.5)     		ty = 3998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9377 / 3998 ti = "16/9377/3998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9377/3998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9377 ÷ 216
    9377 ÷ 65536     		x = 0.143081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3998 ÷ 216
    3998 ÷ 65536     		y = 0.061004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143081665039062 × 2 - 1) × π
    -0.713836669921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24258404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061004638671875 × 2 - 1) × π
    0.87799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75828920413803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24258404} λ = -2.24258404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75828920413803))-π/2
    2×atan(15.7728357508127)-π/2
    2×1.50748092944561-π/2
    3.01496185889123-1.57079632675     		φ = 1.44416553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24258404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.490601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44416553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.744590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9377 KachelY 3998 -2.24258404 1.44416553 -128.490601 82.744590
    Oben rechts KachelX + 1 9378 KachelY 3998 -2.24248816 1.44416553 -128.485107 82.744590
    Unten links KachelX 9377 KachelY + 1 3999 -2.24258404 1.44415342 -128.490601 82.743896
    Unten rechts KachelX + 1 9378 KachelY + 1 3999 -2.24248816 1.44415342 -128.485107 82.743896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44416553-1.44415342) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dl = 77.1528100007686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44416553-1.44415342) × R
    1.21100000001206e-05 × 6371000     		dr = 77.1528100007686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24258404--2.24248816) × cos(1.44416553) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.126292639657562 × 6371000     		do = 77.1460458478779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24258404--2.24248816) × cos(1.44415342) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.12630465268388 × 6371000     		du = 77.1533840227835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44416553)-sin(1.44415342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126292639657562-0.12630465268388)×R²
    abs(-2.24248816--2.24258404)×1.20130263179252e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.20130263179252e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.20130263179252e-05×40589641000000     		ar = 5952.31729802558m²