Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9375 / 7074
↖ ↑ ↗
← N 23.845650°
E 25.993652°		 ← 2 234.66 m → N 23.845650°
E 26.015625°		 →
↑
2 234.82 m
↓
↑
2 234.82 m
↓
N 23.825552°
E 25.993652°		 ← 2 235 m →
4 994 441 m²		 N 23.825552°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572235107421875 y=0.431793212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572235107421875 × 214)
    floor (0.572235107421875 × 16384)
    floor (9375.5)     		tx = 9375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431793212890625 × 214)
    floor (0.431793212890625 × 16384)
    floor (7074.5)     		ty = 7074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9375 / 7074 ti = "14/9375/7074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9375/7074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9375 ÷ 214
    9375 ÷ 16384     		x = 0.57220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7074 ÷ 214
    7074 ÷ 16384     		y = 0.4317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.428747630201782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45367482} λ = 0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428747630201782))-π/2
    2×atan(1.5353335136911)-π/2
    2×0.99349071480058-π/2
    1.98698142960116-1.57079632675     		φ = 0.41618510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41618510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.845650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9375 KachelY 7074 0.45367482 0.41618510 25.993652 23.845650
    Oben rechts KachelX + 1 9376 KachelY 7074 0.45405831 0.41618510 26.015625 23.845650
    Unten links KachelX 9375 KachelY + 1 7075 0.45367482 0.41583432 25.993652 23.825552
    Unten rechts KachelX + 1 9376 KachelY + 1 7075 0.45405831 0.41583432 26.015625 23.825552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41618510-0.41583432) × R
    0.000350779999999995 × 6371000     		dl = 2234.81937999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41618510-0.41583432) × R
    0.000350779999999995 × 6371000     		dr = 2234.81937999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45367482-0.45405831) × cos(0.41618510) × R
    0.000383490000000042 × 0.914637857597 × 6371000     		do = 2234.65674117515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45367482-0.45405831) × cos(0.41583432) × R
    0.000383490000000042 × 0.91477961260936 × 6371000     		du = 2235.0030791179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41618510)-sin(0.41583432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914637857597-0.91477961260936)×R²
    abs(0.45405831-0.45367482)×0.000141755012360023×R²
    0.000383490000000042×0.000141755012360023×6371000²
    0.000383490000000042×0.000141755012360023×40589641000000     		ar = 4994441.24541138m²