Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9375 / 6945
↖ ↑ ↗
← N 26.411551°
E 25.993652°		 ← 2 188.20 m → N 26.411551°
E 26.015625°		 →
↑
2 188.44 m
↓
↑
2 188.44 m
↓
N 26.391870°
E 25.993652°		 ← 2 188.57 m →
4 789 143 m²		 N 26.391870°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572235107421875 y=0.423919677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572235107421875 × 214)
    floor (0.572235107421875 × 16384)
    floor (9375.5)     		tx = 9375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423919677734375 × 214)
    floor (0.423919677734375 × 16384)
    floor (6945.5)     		ty = 6945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9375 / 6945 ti = "14/9375/6945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9375/6945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9375 ÷ 214
    9375 ÷ 16384     		x = 0.57220458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6945 ÷ 214
    6945 ÷ 16384     		y = 0.42388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42388916015625 × 2 - 1) × π
    0.1522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.47821851060968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45367482} λ = 0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47821851060968))-π/2
    2×atan(1.6131979457405)-π/2
    2×1.01588242218906-π/2
    2.03176484437813-1.57079632675     		φ = 0.46096852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46096852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.411551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9375 KachelY 6945 0.45367482 0.46096852 25.993652 26.411551
    Oben rechts KachelX + 1 9376 KachelY 6945 0.45405831 0.46096852 26.015625 26.411551
    Unten links KachelX 9375 KachelY + 1 6946 0.45367482 0.46062502 25.993652 26.391870
    Unten rechts KachelX + 1 9376 KachelY + 1 6946 0.45405831 0.46062502 26.015625 26.391870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46096852-0.46062502) × R
    0.000343499999999997 × 6371000     		dl = 2188.43849999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46096852-0.46062502) × R
    0.000343499999999997 × 6371000     		dr = 2188.43849999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45367482-0.45405831) × cos(0.46096852) × R
    0.000383490000000042 × 0.895622104709715 × 6371000     		do = 2188.19717247794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45367482-0.45405831) × cos(0.46062502) × R
    0.000383490000000042 × 0.895774846076327 × 6371000     		du = 2188.57035244389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46096852)-sin(0.46062502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895622104709715-0.895774846076327)×R²
    abs(0.45405831-0.45367482)×0.000152741366611808×R²
    0.000383490000000042×0.000152741366611808×6371000²
    0.000383490000000042×0.000152741366611808×40589641000000     		ar = 4789143.32563496m²