Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9373 / 7084
↖ ↑ ↗
← N 23.644524°
E 25.949707°		 ← 2 238.11 m → N 23.644524°
E 25.971680°		 →
↑
2 238.32 m
↓
↑
2 238.32 m
↓
N 23.624395°
E 25.949707°		 ← 2 238.45 m →
5 010 000 m²		 N 23.624395°
E 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572113037109375 y=0.432403564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572113037109375 × 214)
    floor (0.572113037109375 × 16384)
    floor (9373.5)     		tx = 9373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432403564453125 × 214)
    floor (0.432403564453125 × 16384)
    floor (7084.5)     		ty = 7084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9373 / 7084 ti = "14/9373/7084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9373/7084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9373 ÷ 214
    9373 ÷ 16384     		x = 0.57208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7084 ÷ 214
    7084 ÷ 16384     		y = 0.432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57208251953125 × 2 - 1) × π
    0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45290783} λ = 0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424912678232178))-π/2
    2×atan(1.52945685895535)-π/2
    2×0.991735562058178-π/2
    1.98347112411636-1.57079632675     		φ = 0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9373 KachelY 7084 0.45290783 0.41267480 25.949707 23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 9374 KachelY 7084 0.45329132 0.41267480 25.971680 23.644524
    Unten links KachelX 9373 KachelY + 1 7085 0.45290783 0.41232347 25.949707 23.624395
    Unten rechts KachelX + 1 9374 KachelY + 1 7085 0.45329132 0.41232347 25.971680 23.624395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41267480-0.41232347) × R
    0.000351329999999983 × 6371000     		dl = 2238.32342999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41267480-0.41232347) × R
    0.000351329999999983 × 6371000     		dr = 2238.32342999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45290783-0.45329132) × cos(0.41267480) × R
    0.000383489999999986 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 2238.11018977259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45290783-0.45329132) × cos(0.41232347) × R
    0.000383489999999986 × 0.916192191291469 × 6371000     		du = 2238.45431224575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41267480)-sin(0.41232347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.916192191291469)×R²
    abs(0.45329132-0.45290783)×0.000140848227738855×R²
    0.000383489999999986×0.000140848227738855×6371000²
    0.000383489999999986×0.000140848227738855×40589641000000     		ar = 5009999.65691925m²