Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9372 / 7002
↖ ↑ ↗
← N 25.284438°
E 25.927734°		 ← 2 209.21 m → N 25.284438°
E 25.949707°		 →
↑
2 209.40 m
↓
↑
2 209.40 m
↓
N 25.264568°
E 25.927734°		 ← 2 209.57 m →
4 881 424 m²		 N 25.264568°
E 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572052001953125 y=0.427398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572052001953125 × 214)
    floor (0.572052001953125 × 16384)
    floor (9372.5)     		tx = 9372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427398681640625 × 214)
    floor (0.427398681640625 × 16384)
    floor (7002.5)     		ty = 7002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9372 / 7002 ti = "14/9372/7002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9372/7002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9372 ÷ 214
    9372 ÷ 16384     		x = 0.572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7002 ÷ 214
    7002 ÷ 16384     		y = 0.4273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572021484375 × 2 - 1) × π
    0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456359284382935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45252433} λ = 0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456359284382935))-π/2
    2×atan(1.57831730766988)-π/2
    2×1.00604650749175-π/2
    2.01209301498349-1.57079632675     		φ = 0.44129669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44129669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.284438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9372 KachelY 7002 0.45252433 0.44129669 25.927734 25.284438
    Oben rechts KachelX + 1 9373 KachelY 7002 0.45290783 0.44129669 25.949707 25.284438
    Unten links KachelX 9372 KachelY + 1 7003 0.45252433 0.44094990 25.927734 25.264568
    Unten rechts KachelX + 1 9373 KachelY + 1 7003 0.45290783 0.44094990 25.949707 25.264568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44129669-0.44094990) × R
    0.000346789999999986 × 6371000     		dl = 2209.39908999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44129669-0.44094990) × R
    0.000346789999999986 × 6371000     		dr = 2209.39908999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45252433-0.45290783) × cos(0.44129669) × R
    0.000383500000000037 × 0.904198591302925 × 6371000     		do = 2209.20897786093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45252433-0.45290783) × cos(0.44094990) × R
    0.000383500000000037 × 0.904346655199733 × 6371000     		du = 2209.57073919663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44129669)-sin(0.44094990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904198591302925-0.904346655199733)×R²
    abs(0.45290783-0.45252433)×0.000148063896807771×R²
    0.000383500000000037×0.000148063896807771×6371000²
    0.000383500000000037×0.000148063896807771×40589641000000     		ar = 4881423.99180957m²