Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9370 / 7081
↖ ↑ ↗
← N 23.704895°
E 25.883789°		 ← 2 237.13 m → N 23.704895°
E 25.905762°		 →
↑
2 237.30 m
↓
↑
2 237.30 m
↓
N 23.684774°
E 25.883789°		 ← 2 237.48 m →
5 005 537 m²		 N 23.684774°
E 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571929931640625 y=0.432220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571929931640625 × 214)
    floor (0.571929931640625 × 16384)
    floor (9370.5)     		tx = 9370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432220458984375 × 214)
    floor (0.432220458984375 × 16384)
    floor (7081.5)     		ty = 7081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9370 / 7081 ti = "14/9370/7081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9370/7081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9370 ÷ 214
    9370 ÷ 16384     		x = 0.5718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7081 ÷ 214
    7081 ÷ 16384     		y = 0.43218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5718994140625 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43218994140625 × 2 - 1) × π
    0.1356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.426063163823059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45175734} λ = 0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426063163823059))-π/2
    2×atan(1.53121748962937)-π/2
    2×0.992262392343609-π/2
    1.98452478468722-1.57079632675     		φ = 0.41372846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41372846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.704895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9370 KachelY 7081 0.45175734 0.41372846 25.883789 23.704895
    Oben rechts KachelX + 1 9371 KachelY 7081 0.45214084 0.41372846 25.905762 23.704895
    Unten links KachelX 9370 KachelY + 1 7082 0.45175734 0.41337729 25.883789 23.684774
    Unten rechts KachelX + 1 9371 KachelY + 1 7082 0.45214084 0.41337729 25.905762 23.684774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41372846-0.41337729) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dl = 2237.30407000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41372846-0.41337729) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dr = 2237.30407000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45175734-0.45214084) × cos(0.41372846) × R
    0.000383499999999981 × 0.915628252694238 × 6371000     		do = 2237.13482380029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45175734-0.45214084) × cos(0.41337729) × R
    0.000383499999999981 × 0.915769375703161 × 6371000     		du = 2237.47962661384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41372846)-sin(0.41337729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915628252694238-0.915769375703161)×R²
    abs(0.45214084-0.45175734)×0.000141123008922328×R²
    0.000383499999999981×0.000141123008922328×6371000²
    0.000383499999999981×0.000141123008922328×40589641000000     		ar = 5005536.61223725m²