Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9370 / 6775
↖ ↑ ↗
← N 29.707139°
E 25.883789°		 ← 2 122.16 m → N 29.707139°
E 25.905762°		 →
↑
2 122.31 m
↓
↑
2 122.31 m
↓
N 29.688053°
E 25.883789°		 ← 2 122.56 m →
4 504 299 m²		 N 29.688053°
E 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571929931640625 y=0.413543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571929931640625 × 214)
    floor (0.571929931640625 × 16384)
    floor (9370.5)     		tx = 9370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413543701171875 × 214)
    floor (0.413543701171875 × 16384)
    floor (6775.5)     		ty = 6775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9370 / 6775 ti = "14/9370/6775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9370/6775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9370 ÷ 214
    9370 ÷ 16384     		x = 0.5718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6775 ÷ 214
    6775 ÷ 16384     		y = 0.41351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5718994140625 × 2 - 1) × π
    0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41351318359375 × 2 - 1) × π
    0.1729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.543412694092957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45175734} λ = 0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.543412694092957))-π/2
    2×atan(1.72187307276461)-π/2
    2×1.04464185987755-π/2
    2.08928371975511-1.57079632675     		φ = 0.51848739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51848739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.707139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9370 KachelY 6775 0.45175734 0.51848739 25.883789 29.707139
    Oben rechts KachelX + 1 9371 KachelY 6775 0.45214084 0.51848739 25.905762 29.707139
    Unten links KachelX 9370 KachelY + 1 6776 0.45175734 0.51815427 25.883789 29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 9371 KachelY + 1 6776 0.45214084 0.51815427 25.905762 29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51848739-0.51815427) × R
    0.000333119999999965 × 6371000     		dl = 2122.30751999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51848739-0.51815427) × R
    0.000333119999999965 × 6371000     		dr = 2122.30751999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45175734-0.45214084) × cos(0.51848739) × R
    0.000383499999999981 × 0.868569772476166 × 6371000     		do = 2122.1578508408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45175734-0.45214084) × cos(0.51815427) × R
    0.000383499999999981 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 2122.56107742987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51848739)-sin(0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868569772476166-0.868734807526026)×R²
    abs(0.45214084-0.45175734)×0.000165035049860318×R²
    0.000383499999999981×0.000165035049860318×6371000²
    0.000383499999999981×0.000165035049860318×40589641000000     		ar = 4504299.49252974m²