Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 937 / 730
↖ ↑ ↗
← N 74.913708°
W 97.646485°		 ← 2 543.67 m → N 74.913708°
W 97.558593°		 →
↑
2 545.53 m
↓
↑
2 545.53 m
↓
N 74.890816°
W 97.646485°		 ← 2 547.44 m →
6 479 785 m²		 N 74.890816°
W 97.558593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2288818359375 y=0.1783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2288818359375 × 212)
    floor (0.2288818359375 × 4096)
    floor (937.5)     		tx = 937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1783447265625 × 212)
    floor (0.1783447265625 × 4096)
    floor (730.5)     		ty = 730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 937 / 730 ti = "12/937/730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/937/730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 937 ÷ 212
    937 ÷ 4096     		x = 0.228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 730 ÷ 212
    730 ÷ 4096     		y = 0.17822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70425266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17822265625 × 2 - 1) × π
    0.6435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.02178667837549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70425266} λ = -1.70425266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02178667837549))-π/2
    2×atan(7.55180553497164)-π/2
    2×1.43914359449666-π/2
    2.87828718899333-1.57079632675     		φ = 1.30749086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70425266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.646485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30749086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.913708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 937 KachelY 730 -1.70425266 1.30749086 -97.646485 74.913708
    Oben rechts KachelX + 1 938 KachelY 730 -1.70271867 1.30749086 -97.558593 74.913708
    Unten links KachelX 937 KachelY + 1 731 -1.70425266 1.30709131 -97.646485 74.890816
    Unten rechts KachelX + 1 938 KachelY + 1 731 -1.70271867 1.30709131 -97.558593 74.890816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30749086-1.30709131) × R
    0.000399550000000026 × 6371000     		dl = 2545.53305000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30749086-1.30709131) × R
    0.000399550000000026 × 6371000     		dr = 2545.53305000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70425266--1.70271867) × cos(1.30749086) × R
    0.00153398999999999 × 0.260273511614786 × 6371000     		do = 2543.66611816618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70425266--1.70271867) × cos(1.30709131) × R
    0.00153398999999999 × 0.260659270310353 × 6371000     		du = 2547.43615729776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30749086)-sin(1.30709131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.260273511614786-0.260659270310353)×R²
    abs(-1.70271867--1.70425266)×0.000385758695566618×R²
    0.00153398999999999×0.000385758695566618×6371000²
    0.00153398999999999×0.000385758695566618×40589641000000     		ar = 6479784.63776256m²