Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 937 / 653
↖ ↑ ↗
← N 54.470038°
W 15.292969°		 ← 11.359 km → N 54.470038°
W 15.117188°		 →
↑
11.373 km
↓
↑
11.373 km
↓
N 54.367758°
W 15.292969°		 ← 11.387 km →
129.343 km²		 N 54.367758°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457763671875 y=0.319091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457763671875 × 211)
    floor (0.457763671875 × 2048)
    floor (937.5)     		tx = 937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319091796875 × 211)
    floor (0.319091796875 × 2048)
    floor (653.5)     		ty = 653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 937 / 653 ti = "11/937/653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/937/653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 937 ÷ 211
    937 ÷ 2048     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 653 ÷ 211
    653 ÷ 2048     		y = 0.31884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31884765625 × 2 - 1) × π
    0.3623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13821374457861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13821374457861))-π/2
    2×atan(3.12118814357671)-π/2
    2×1.2607389134023-π/2
    2.5214778268046-1.57079632675     		φ = 0.95068150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95068150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.470038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 937 KachelY 653 -0.26691266 0.95068150 -15.292969 54.470038
    Oben rechts KachelX + 1 938 KachelY 653 -0.26384470 0.95068150 -15.117188 54.470038
    Unten links KachelX 937 KachelY + 1 654 -0.26691266 0.94889639 -15.292969 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 938 KachelY + 1 654 -0.26384470 0.94889639 -15.117188 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95068150-0.94889639) × R
    0.00178510999999992 × 6371000     		dl = 11372.9358099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95068150-0.94889639) × R
    0.00178510999999992 × 6371000     		dr = 11372.9358099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26384470) × cos(0.95068150) × R
    0.00306796000000004 × 0.581128611761183 × 6371000     		do = 11358.7242479923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26384470) × cos(0.94889639) × R
    0.00306796000000004 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 11387.1014196868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95068150)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581128611761183-0.582580428535012)×R²
    abs(-0.26384470--0.26691266)×0.00145181677382866×R²
    0.00306796000000004×0.00145181677382866×6371000²
    0.00306796000000004×0.00145181677382866×40589641000000     		ar = 129343441.97932m²