Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9367 / 6764
↖ ↑ ↗
← N 29.916852°
E 25.817871°		 ← 2 117.66 m → N 29.916852°
E 25.839844°		 →
↑
2 117.85 m
↓
↑
2 117.85 m
↓
N 29.897806°
E 25.817871°		 ← 2 118.06 m →
4 485 303 m²		 N 29.897806°
E 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571746826171875 y=0.412872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571746826171875 × 214)
    floor (0.571746826171875 × 16384)
    floor (9367.5)     		tx = 9367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412872314453125 × 214)
    floor (0.412872314453125 × 16384)
    floor (6764.5)     		ty = 6764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9367 / 6764 ti = "14/9367/6764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9367/6764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9367 ÷ 214
    9367 ÷ 16384     		x = 0.57171630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6764 ÷ 214
    6764 ÷ 16384     		y = 0.412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57171630859375 × 2 - 1) × π
    0.1434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45060686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45060686} λ = 0.45060686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547631141259522))-π/2
    2×atan(1.72915204553635)-π/2
    2×1.04647195004051-π/2
    2.09294390008102-1.57079632675     		φ = 0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45060686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.817871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9367 KachelY 6764 0.45060686 0.52214757 25.817871 29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 9368 KachelY 6764 0.45099035 0.52214757 25.839844 29.916852
    Unten links KachelX 9367 KachelY + 1 6765 0.45060686 0.52181515 25.817871 29.897806
    Unten rechts KachelX + 1 9368 KachelY + 1 6765 0.45099035 0.52181515 25.839844 29.897806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52214757-0.52181515) × R
    0.00033242 × 6371000     		dl = 2117.84782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52214757-0.52181515) × R
    0.00033242 × 6371000     		dr = 2117.84782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45060686-0.45099035) × cos(0.52214757) × R
    0.000383489999999986 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 2117.65664988488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45060686-0.45099035) × cos(0.52181515) × R
    0.000383489999999986 × 0.866915838559009 × 6371000     		du = 2118.06159845255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52214757)-sin(0.52181515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866915838559009)×R²
    abs(0.45099035-0.45060686)×0.000165744153695968×R²
    0.000383489999999986×0.000165744153695968×6371000²
    0.000383489999999986×0.000165744153695968×40589641000000     		ar = 4485303.37049105m²