Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9366 / 7042
↖ ↑ ↗
← N 24.487149°
E 25.795898°		 ← 2 223.52 m → N 24.487149°
E 25.817871°		 →
↑
2 223.67 m
↓
↑
2 223.67 m
↓
N 24.467151°
E 25.795898°		 ← 2 223.87 m →
4 944 759 m²		 N 24.467151°
E 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571685791015625 y=0.429840087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571685791015625 × 214)
    floor (0.571685791015625 × 16384)
    floor (9366.5)     		tx = 9366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429840087890625 × 214)
    floor (0.429840087890625 × 16384)
    floor (7042.5)     		ty = 7042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9366 / 7042 ti = "14/9366/7042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9366/7042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9366 ÷ 214
    9366 ÷ 16384     		x = 0.5716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7042 ÷ 214
    7042 ÷ 16384     		y = 0.4298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5716552734375 × 2 - 1) × π
    0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4298095703125 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.441019476504517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45022336} λ = 0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441019476504517))-π/2
    2×atan(1.55429097420269)-π/2
    2×0.9990888468179-π/2
    1.9981776936358-1.57079632675     		φ = 0.42738137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42738137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.487149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9366 KachelY 7042 0.45022336 0.42738137 25.795898 24.487149
    Oben rechts KachelX + 1 9367 KachelY 7042 0.45060686 0.42738137 25.817871 24.487149
    Unten links KachelX 9366 KachelY + 1 7043 0.45022336 0.42703234 25.795898 24.467151
    Unten rechts KachelX + 1 9367 KachelY + 1 7043 0.45060686 0.42703234 25.817871 24.467151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42738137-0.42703234) × R
    0.000349029999999972 × 6371000     		dl = 2223.67012999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42738137-0.42703234) × R
    0.000349029999999972 × 6371000     		dr = 2223.67012999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45022336-0.45060686) × cos(0.42738137) × R
    0.000383499999999981 × 0.910054262327982 × 6371000     		do = 2223.51601297921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45022336-0.45060686) × cos(0.42703234) × R
    0.000383499999999981 × 0.910198876034109 × 6371000     		du = 2223.86934453819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42738137)-sin(0.42703234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910054262327982-0.910198876034109)×R²
    abs(0.45060686-0.45022336)×0.000144613706126506×R²
    0.000383499999999981×0.000144613706126506×6371000²
    0.000383499999999981×0.000144613706126506×40589641000000     		ar = 4944759.03825295m²