Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9366 / 6757
↖ ↑ ↗
← N 30.050077°
E 25.795898°		 ← 2 114.87 m → N 30.050077°
E 25.817871°		 →
↑
2 115.04 m
↓
↑
2 115.04 m
↓
N 30.031056°
E 25.795898°		 ← 2 115.28 m →
4 473 480 m²		 N 30.031056°
E 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571685791015625 y=0.412445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571685791015625 × 214)
    floor (0.571685791015625 × 16384)
    floor (9366.5)     		tx = 9366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412445068359375 × 214)
    floor (0.412445068359375 × 16384)
    floor (6757.5)     		ty = 6757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9366 / 6757 ti = "14/9366/6757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9366/6757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9366 ÷ 214
    9366 ÷ 16384     		x = 0.5716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6757 ÷ 214
    6757 ÷ 16384     		y = 0.41241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5716552734375 × 2 - 1) × π
    0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    0.1751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45022336} λ = 0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550315607638245))-π/2
    2×atan(1.73380013209102)-π/2
    2×1.04763455128058-π/2
    2.09526910256117-1.57079632675     		φ = 0.52447278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52447278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.050077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9366 KachelY 6757 0.45022336 0.52447278 25.795898 30.050077
    Oben rechts KachelX + 1 9367 KachelY 6757 0.45060686 0.52447278 25.817871 30.050077
    Unten links KachelX 9366 KachelY + 1 6758 0.45022336 0.52414080 25.795898 30.031056
    Unten rechts KachelX + 1 9367 KachelY + 1 6758 0.45060686 0.52414080 25.817871 30.031056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52447278-0.52414080) × R
    0.000331980000000009 × 6371000     		dl = 2115.04458000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52447278-0.52414080) × R
    0.000331980000000009 × 6371000     		dr = 2115.04458000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45022336-0.45060686) × cos(0.52447278) × R
    0.000383499999999981 × 0.865588070867903 × 6371000     		do = 2114.87272340792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45022336-0.45060686) × cos(0.52414080) × R
    0.000383499999999981 × 0.865754264381864 × 6371000     		du = 2115.27878044742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52447278)-sin(0.52414080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865588070867903-0.865754264381864)×R²
    abs(0.45060686-0.45022336)×0.000166193513960633×R²
    0.000383499999999981×0.000166193513960633×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166193513960633×40589641000000     		ar = 4473479.54649035m²