Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9360 / 7472
↖ ↑ ↗
← N 15.623037°
E 25.664062°		 ← 2 353.01 m → N 15.623037°
E 25.686035°		 →
↑
2 353.07 m
↓
↑
2 353.07 m
↓
N 15.601875°
E 25.664062°		 ← 2 353.25 m →
5 537 072 m²		 N 15.601875°
E 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571319580078125 y=0.456085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571319580078125 × 214)
    floor (0.571319580078125 × 16384)
    floor (9360.5)     		tx = 9360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456085205078125 × 214)
    floor (0.456085205078125 × 16384)
    floor (7472.5)     		ty = 7472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9360 / 7472 ti = "14/9360/7472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9360/7472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9360 ÷ 214
    9360 ÷ 16384     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7472 ÷ 214
    7472 ÷ 16384     		y = 0.4560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    0.087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.276116541811523))-π/2
    2×atan(1.31800145735454)-π/2
    2×0.921734879328903-π/2
    1.84346975865781-1.57079632675     		φ = 0.27267343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27267343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.623037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9360 KachelY 7472 0.44792239 0.27267343 25.664062 15.623037
    Oben rechts KachelX + 1 9361 KachelY 7472 0.44830589 0.27267343 25.686035 15.623037
    Unten links KachelX 9360 KachelY + 1 7473 0.44792239 0.27230409 25.664062 15.601875
    Unten rechts KachelX + 1 9361 KachelY + 1 7473 0.44830589 0.27230409 25.686035 15.601875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27267343-0.27230409) × R
    0.000369339999999996 × 6371000     		dl = 2353.06513999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27267343-0.27230409) × R
    0.000369339999999996 × 6371000     		dr = 2353.06513999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.44830589) × cos(0.27267343) × R
    0.000383499999999981 × 0.963054365247437 × 6371000     		do = 2353.01002494009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.44830589) × cos(0.27230409) × R
    0.000383499999999981 × 0.963153765426565 × 6371000     		du = 2353.25288726065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27267343)-sin(0.27230409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963054365247437-0.963153765426565)×R²
    abs(0.44830589-0.44792239)×9.94001791276844e-05×R²
    0.000383499999999981×9.94001791276844e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.94001791276844e-05×40589641000000     		ar = 5537071.66213137m²