Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9360 / 7053
↖ ↑ ↗
← N 80.285885°
W128.583984°		 ← 103.06 m → N 80.285885°
W128.578491°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 80.284958°
W128.583984°		 ← 103.07 m →
10 624 m²		 N 80.284958°
W128.578491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142829895019531 y=0.107627868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142829895019531 × 216)
    floor (0.142829895019531 × 65536)
    floor (9360.5)     		tx = 9360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107627868652344 × 216)
    floor (0.107627868652344 × 65536)
    floor (7053.5)     		ty = 7053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9360 / 7053 ti = "16/9360/7053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9360/7053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9360 ÷ 216
    9360 ÷ 65536     		x = 0.142822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7053 ÷ 216
    7053 ÷ 65536     		y = 0.107620239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    -0.71435546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24421389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107620239257812 × 2 - 1) × π
    0.784759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46539474745949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24421389} λ = -2.24421389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46539474745949))-π/2
    2×atan(11.7681266733208)-π/2
    2×1.4860246831183-π/2
    2.9720493662366-1.57079632675     		φ = 1.40125304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24421389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.583984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40125304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.285885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9360 KachelY 7053 -2.24421389 1.40125304 -128.583984 80.285885
    Oben rechts KachelX + 1 9361 KachelY 7053 -2.24411802 1.40125304 -128.578491 80.285885
    Unten links KachelX 9360 KachelY + 1 7054 -2.24421389 1.40123686 -128.583984 80.284958
    Unten rechts KachelX + 1 9361 KachelY + 1 7054 -2.24411802 1.40123686 -128.578491 80.284958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40125304-1.40123686) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40125304-1.40123686) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24421389--2.24411802) × cos(1.40125304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168732201860233 × 6371000     		do = 103.059565301399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24421389--2.24411802) × cos(1.40123686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168748149848205 × 6371000     		du = 103.069306137409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40125304)-sin(1.40123686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168732201860233-0.168748149848205)×R²
    abs(-2.24411802--2.24421389)×1.59479879715541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59479879715541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59479879715541e-05×40589641000000     		ar = 10624.1685532173m²