Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 936 / 986
↖ ↑ ↗
← N 79.480618°
W138.867187°		 ← 892.12 m → N 79.480618°
W138.823242°		 →
↑
892.45 m
↓
↑
892.45 m
↓
N 79.472592°
W138.867187°		 ← 892.79 m →
796 471 m²		 N 79.472592°
W138.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11431884765625 y=0.12042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11431884765625 × 213)
    floor (0.11431884765625 × 8192)
    floor (936.5)     		tx = 936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12042236328125 × 213)
    floor (0.12042236328125 × 8192)
    floor (986.5)     		ty = 986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 936 / 986 ti = "13/936/986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/936/986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 936 ÷ 213
    936 ÷ 8192     		x = 0.1142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 986 ÷ 213
    986 ÷ 8192     		y = 0.120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    -0.771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42368964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    0.75927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42368964} λ = -2.42368964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38534012509399))-π/2
    2×atan(10.8627567328171)-π/2
    2×1.47899740034848-π/2
    2.95799480069696-1.57079632675     		φ = 1.38719847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42368964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38719847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.480618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 936 KachelY 986 -2.42368964 1.38719847 -138.867187 79.480618
    Oben rechts KachelX + 1 937 KachelY 986 -2.42292265 1.38719847 -138.823242 79.480618
    Unten links KachelX 936 KachelY + 1 987 -2.42368964 1.38705839 -138.867187 79.472592
    Unten rechts KachelX + 1 937 KachelY + 1 987 -2.42292265 1.38705839 -138.823242 79.472592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38719847-1.38705839) × R
    0.000140079999999987 × 6371000     		dl = 892.449679999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38719847-1.38705839) × R
    0.000140079999999987 × 6371000     		dr = 892.449679999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42368964--2.42292265) × cos(1.38719847) × R
    0.000766990000000245 × 0.182568135774842 × 6371000     		do = 892.117970431862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42368964--2.42292265) × cos(1.38705839) × R
    0.000766990000000245 × 0.182705859687153 × 6371000     		du = 892.790957405241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38719847)-sin(1.38705839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182568135774842-0.182705859687153)×R²
    abs(-2.42292265--2.42368964)×0.00013772391231065×R²
    0.000766990000000245×0.00013772391231065×6371000²
    0.000766990000000245×0.00013772391231065×40589641000000     		ar = 796470.702040002m²