Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 936 / 984
↖ ↑ ↗
← N 79.496652°
W138.867187°		 ← 890.77 m → N 79.496652°
W138.823242°		 →
↑
891.11 m
↓
↑
891.11 m
↓
N 79.488638°
W138.867187°		 ← 891.45 m →
794 078 m²		 N 79.488638°
W138.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11431884765625 y=0.12017822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11431884765625 × 213)
    floor (0.11431884765625 × 8192)
    floor (936.5)     		tx = 936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12017822265625 × 213)
    floor (0.12017822265625 × 8192)
    floor (984.5)     		ty = 984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 936 / 984 ti = "13/936/984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/936/984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 936 ÷ 213
    936 ÷ 8192     		x = 0.1142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 984 ÷ 213
    984 ÷ 8192     		y = 0.1201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    -0.771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42368964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1201171875 × 2 - 1) × π
    0.759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38687410588184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42368964} λ = -2.42368964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38687410588184))-π/2
    2×atan(10.8794327800462)-π/2
    2×1.47913732280807-π/2
    2.95827464561614-1.57079632675     		φ = 1.38747832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42368964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38747832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.496652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 936 KachelY 984 -2.42368964 1.38747832 -138.867187 79.496652
    Oben rechts KachelX + 1 937 KachelY 984 -2.42292265 1.38747832 -138.823242 79.496652
    Unten links KachelX 936 KachelY + 1 985 -2.42368964 1.38733845 -138.867187 79.488638
    Unten rechts KachelX + 1 937 KachelY + 1 985 -2.42292265 1.38733845 -138.823242 79.488638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38747832-1.38733845) × R
    0.000139870000000153 × 6371000     		dl = 891.111770000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38747832-1.38733845) × R
    0.000139870000000153 × 6371000     		dr = 891.111770000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42368964--2.42292265) × cos(1.38747832) × R
    0.000766990000000245 × 0.182292982011374 × 6371000     		do = 890.773433412952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42368964--2.42292265) × cos(1.38733845) × R
    0.000766990000000245 × 0.182430506601982 × 6371000     		du = 891.445446402169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38747832)-sin(1.38733845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182292982011374-0.182430506601982)×R²
    abs(-2.42292265--2.42368964)×0.000137524590608062×R²
    0.000766990000000245×0.000137524590608062×6371000²
    0.000766990000000245×0.000137524590608062×40589641000000     		ar = 794078.111555967m²