Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 936 / 923
↖ ↑ ↗
← S 80.816891°
E149.062500°		 ← 6 238.69 m → S 80.816891°
E149.414063°		 →
↑
6 219.82 m
↓
↑
6 219.82 m
↓
S 80.872827°
E149.062500°		 ← 6 201.01 m →
38 686 334 m²		 S 80.872827°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91455078125 y=0.90185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91455078125 × 210)
    floor (0.91455078125 × 1024)
    floor (936.5)     		tx = 936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90185546875 × 210)
    floor (0.90185546875 × 1024)
    floor (923.5)     		ty = 923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 936 / 923 ti = "10/936/923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/936/923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 936 ÷ 210
    936 ÷ 1024     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 923 ÷ 210
    923 ÷ 1024     		y = 0.9013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9013671875 × 2 - 1) × π
    -0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52186441521191))-π/2
    2×atan(0.0803097363884675)-π/2
    2×0.0801377448067855-π/2
    0.160275489613571-1.57079632675     		φ = -1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 936 KachelY 923 2.60163142 -1.41052084 149.062500 -80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 937 KachelY 923 2.60776734 -1.41052084 149.414063 -80.816891
    Unten links KachelX 936 KachelY + 1 924 2.60163142 -1.41149711 149.062500 -80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 937 KachelY + 1 924 2.60776734 -1.41149711 149.414063 -80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41052084--1.41149711) × R
    0.000976270000000001 × 6371000     		dl = 6219.81617000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41052084--1.41149711) × R
    0.000976270000000001 × 6371000     		dr = 6219.81617000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60776734) × cos(-1.41052084) × R
    0.00613592000000018 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 6238.69030588479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60776734) × cos(-1.41149711) × R
    0.00613592000000018 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 6201.01218255925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41052084)-sin(-1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.15862633525071)×R²
    abs(2.60776734-2.60163142)×0.000963833394661745×R²
    0.00613592000000018×0.000963833394661745×6371000²
    0.00613592000000018×0.000963833394661745×40589641000000     		ar = 38686334.4164748m²