Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 936 / 679
↖ ↑ ↗
← N 76.037317°
W 97.734375°		 ← 2 358.12 m → N 76.037317°
W 97.646485°		 →
↑
2 359.88 m
↓
↑
2 359.88 m
↓
N 76.016094°
W 97.734375°		 ← 2 361.64 m →
5 569 037 m²		 N 76.016094°
W 97.646485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2286376953125 y=0.1658935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2286376953125 × 212)
    floor (0.2286376953125 × 4096)
    floor (936.5)     		tx = 936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1658935546875 × 212)
    floor (0.1658935546875 × 4096)
    floor (679.5)     		ty = 679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 936 / 679 ti = "12/936/679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/936/679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 936 ÷ 212
    936 ÷ 4096     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 679 ÷ 212
    679 ÷ 4096     		y = 0.165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165771484375 × 2 - 1) × π
    0.66845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10001969855542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10001969855542))-π/2
    2×atan(8.16633077590262)-π/2
    2×1.44894892770788-π/2
    2.89789785541576-1.57079632675     		φ = 1.32710153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32710153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.037317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 936 KachelY 679 -1.70578664 1.32710153 -97.734375 76.037317
    Oben rechts KachelX + 1 937 KachelY 679 -1.70425266 1.32710153 -97.646485 76.037317
    Unten links KachelX 936 KachelY + 1 680 -1.70578664 1.32673112 -97.734375 76.016094
    Unten rechts KachelX + 1 937 KachelY + 1 680 -1.70425266 1.32673112 -97.646485 76.016094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32710153-1.32673112) × R
    0.000370409999999932 × 6371000     		dl = 2359.88210999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32710153-1.32673112) × R
    0.000370409999999932 × 6371000     		dr = 2359.88210999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.70425266) × cos(1.32710153) × R
    0.00153397999999982 × 0.241289892198102 × 6371000     		do = 2358.12287834143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.70425266) × cos(1.32673112) × R
    0.00153397999999982 × 0.241649341163748 × 6371000     		du = 2361.63576825888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32710153)-sin(1.32673112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241289892198102-0.241649341163748)×R²
    abs(-1.70425266--1.70578664)×0.00035944896564602×R²
    0.00153397999999982×0.00035944896564602×6371000²
    0.00153397999999982×0.00035944896564602×40589641000000     		ar = 5569037.06048636m²