Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9356 / 7060
↖ ↑ ↗
← N 24.126702°
E 25.576172°		 ← 2 229.78 m → N 24.126702°
E 25.598144°		 →
↑
2 230.04 m
↓
↑
2 230.04 m
↓
N 24.106647°
E 25.576172°		 ← 2 230.13 m →
4 972 901 m²		 N 24.106647°
E 25.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571075439453125 y=0.430938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571075439453125 × 214)
    floor (0.571075439453125 × 16384)
    floor (9356.5)     		tx = 9356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430938720703125 × 214)
    floor (0.430938720703125 × 16384)
    floor (7060.5)     		ty = 7060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9356 / 7060 ti = "14/9356/7060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9356/7060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9356 ÷ 214
    9356 ÷ 16384     		x = 0.571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7060 ÷ 214
    7060 ÷ 16384     		y = 0.430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571044921875 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434116562959229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44638841} λ = 0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434116562959229))-π/2
    2×atan(1.54359878407265)-π/2
    2×0.995943356804966-π/2
    1.99188671360993-1.57079632675     		φ = 0.42109039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42109039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.126702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9356 KachelY 7060 0.44638841 0.42109039 25.576172 24.126702
    Oben rechts KachelX + 1 9357 KachelY 7060 0.44677190 0.42109039 25.598144 24.126702
    Unten links KachelX 9356 KachelY + 1 7061 0.44638841 0.42074036 25.576172 24.106647
    Unten rechts KachelX + 1 9357 KachelY + 1 7061 0.44677190 0.42074036 25.598144 24.106647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42109039-0.42074036) × R
    0.000350030000000001 × 6371000     		dl = 2230.04113000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42109039-0.42074036) × R
    0.000350030000000001 × 6371000     		dr = 2230.04113000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44638841-0.44677190) × cos(0.42109039) × R
    0.000383489999999986 × 0.912643779671347 × 6371000     		do = 2229.78478049446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44638841-0.44677190) × cos(0.42074036) × R
    0.000383489999999986 × 0.912786800563814 × 6371000     		du = 2230.13421125421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42109039)-sin(0.42074036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912643779671347-0.912786800563814)×R²
    abs(0.44677190-0.44638841)×0.000143020892467205×R²
    0.000383489999999986×0.000143020892467205×6371000²
    0.000383489999999986×0.000143020892467205×40589641000000     		ar = 4972901.44480812m²