Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9355 / 6868
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
E 25.554199°		 ← 2 158.95 m → N 27.916766°
E 25.576172°		 →
↑
2 159.07 m
↓
↑
2 159.07 m
↓
N 27.897349°
E 25.554199°		 ← 2 159.34 m →
4 661 741 m²		 N 27.897349°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571014404296875 y=0.419219970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571014404296875 × 214)
    floor (0.571014404296875 × 16384)
    floor (9355.5)     		tx = 9355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419219970703125 × 214)
    floor (0.419219970703125 × 16384)
    floor (6868.5)     		ty = 6868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9355 / 6868 ti = "14/9355/6868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9355/6868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9355 ÷ 214
    9355 ÷ 16384     		x = 0.57098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6868 ÷ 214
    6868 ÷ 16384     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57098388671875 × 2 - 1) × π
    0.1419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44600491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44600491} λ = 0.44600491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44600491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9355 KachelY 6868 0.44600491 0.48723949 25.554199 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 9356 KachelY 6868 0.44638841 0.48723949 25.576172 27.916766
    Unten links KachelX 9355 KachelY + 1 6869 0.44600491 0.48690060 25.554199 27.897349
    Unten rechts KachelX + 1 9356 KachelY + 1 6869 0.44638841 0.48690060 25.576172 27.897349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48690060) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dl = 2159.06818999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48690060) × R
    0.000338889999999981 × 6371000     		dr = 2159.06818999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44600491-0.44638841) × cos(0.48723949) × R
    0.000383500000000037 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 2158.95091321999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44600491-0.44638841) × cos(0.48690060) × R
    0.000383500000000037 × 0.883787276187528 × 6371000     		du = 2159.33845048276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48690060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.883787276187528)×R²
    abs(0.44638841-0.44600491)×0.000158613626226822×R²
    0.000383500000000037×0.000158613626226822×6371000²
    0.000383500000000037×0.000158613626226822×40589641000000     		ar = 4661740.64480771m²