Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9354 / 6991
↖ ↑ ↗
← N 25.502785°
E 25.532227°		 ← 2 205.16 m → N 25.502785°
E 25.554199°		 →
↑
2 205.39 m
↓
↑
2 205.39 m
↓
N 25.482951°
E 25.532227°		 ← 2 205.52 m →
4 863 626 m²		 N 25.482951°
E 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570953369140625 y=0.426727294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570953369140625 × 214)
    floor (0.570953369140625 × 16384)
    floor (9354.5)     		tx = 9354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426727294921875 × 214)
    floor (0.426727294921875 × 16384)
    floor (6991.5)     		ty = 6991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9354 / 6991 ti = "14/9354/6991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9354/6991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9354 ÷ 214
    9354 ÷ 16384     		x = 0.5709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6991 ÷ 214
    6991 ÷ 16384     		y = 0.42669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5709228515625 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4605777315495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44562142} λ = 0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4605777315495))-π/2
    2×atan(1.58498941892442)-π/2
    2×1.00795194279277-π/2
    2.01590388558553-1.57079632675     		φ = 0.44510756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44510756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.502785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9354 KachelY 6991 0.44562142 0.44510756 25.532227 25.502785
    Oben rechts KachelX + 1 9355 KachelY 6991 0.44600491 0.44510756 25.554199 25.502785
    Unten links KachelX 9354 KachelY + 1 6992 0.44562142 0.44476140 25.532227 25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 9355 KachelY + 1 6992 0.44600491 0.44476140 25.554199 25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44510756-0.44476140) × R
    0.00034616000000004 × 6371000     		dl = 2205.38536000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44510756-0.44476140) × R
    0.00034616000000004 × 6371000     		dr = 2205.38536000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44562142-0.44600491) × cos(0.44510756) × R
    0.000383489999999986 × 0.902564360125396 × 6371000     		do = 2205.15859358517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44562142-0.44600491) × cos(0.44476140) × R
    0.000383489999999986 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 2205.52260040492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44510756)-sin(0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902564360125396-0.902713346952603)×R²
    abs(0.44600491-0.44562142)×0.000148986827207542×R²
    0.000383489999999986×0.000148986827207542×6371000²
    0.000383489999999986×0.000148986827207542×40589641000000     		ar = 4863625.91499305m²