Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9352 / 9704
↖ ↑ ↗
← S 31.503629°
E 25.488281°		 ← 2 083.10 m → S 31.503629°
E 25.510254°		 →
↑
2 082.93 m
↓
↑
2 082.93 m
↓
S 31.522362°
E 25.488281°		 ← 2 082.68 m →
4 338 531 m²		 S 31.522362°
E 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570831298828125 y=0.592315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570831298828125 × 214)
    floor (0.570831298828125 × 16384)
    floor (9352.5)     		tx = 9352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592315673828125 × 214)
    floor (0.592315673828125 × 16384)
    floor (9704.5)     		ty = 9704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9352 / 9704 ti = "14/9352/9704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9352/9704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9352 ÷ 214
    9352 ÷ 16384     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9704 ÷ 214
    9704 ÷ 16384     		y = 0.59228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.579844737804199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579844737804199))-π/2
    2×atan(0.559985304364122)-π/2
    2×0.510477134547756-π/2
    1.02095426909551-1.57079632675     		φ = -0.54984206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54984206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.503629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9352 KachelY 9704 0.44485443 -0.54984206 25.488281 -31.503629
    Oben rechts KachelX + 1 9353 KachelY 9704 0.44523792 -0.54984206 25.510254 -31.503629
    Unten links KachelX 9352 KachelY + 1 9705 0.44485443 -0.55016900 25.488281 -31.522362
    Unten rechts KachelX + 1 9353 KachelY + 1 9705 0.44523792 -0.55016900 25.510254 -31.522362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54984206--0.55016900) × R
    0.000326939999999998 × 6371000     		dl = 2082.93473999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54984206--0.55016900) × R
    0.000326939999999998 × 6371000     		dr = 2082.93473999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44523792) × cos(-0.54984206) × R
    0.000383489999999986 × 0.852607064646969 × 6371000     		do = 2083.10219040389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44523792) × cos(-0.55016900) × R
    0.000383489999999986 × 0.852436175743761 × 6371000     		du = 2082.68467210812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54984206)-sin(-0.55016900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852607064646969-0.852436175743761)×R²
    abs(0.44523792-0.44485443)×0.000170888903208599×R²
    0.000383489999999986×0.000170888903208599×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170888903208599×40589641000000     		ar = 4338531.12632537m²