Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9352 / 7000
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
E 25.488281°		 ← 2 208.43 m → N 25.324167°
E 25.510254°		 →
↑
2 208.63 m
↓
↑
2 208.63 m
↓
N 25.304304°
E 25.488281°		 ← 2 208.79 m →
4 878 009 m²		 N 25.304304°
E 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570831298828125 y=0.427276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570831298828125 × 214)
    floor (0.570831298828125 × 16384)
    floor (9352.5)     		tx = 9352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427276611328125 × 214)
    floor (0.427276611328125 × 16384)
    floor (7000.5)     		ty = 7000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9352 / 7000 ti = "14/9352/7000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9352/7000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9352 ÷ 214
    9352 ÷ 16384     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7000 ÷ 214
    7000 ÷ 16384     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9352 KachelY 7000 0.44485443 0.44199009 25.488281 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 9353 KachelY 7000 0.44523792 0.44199009 25.510254 25.324167
    Unten links KachelX 9352 KachelY + 1 7001 0.44485443 0.44164342 25.488281 25.304304
    Unten rechts KachelX + 1 9353 KachelY + 1 7001 0.44523792 0.44164342 25.510254 25.304304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44164342) × R
    0.000346669999999993 × 6371000     		dl = 2208.63456999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44164342) × R
    0.000346669999999993 × 6371000     		dr = 2208.63456999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44523792) × cos(0.44199009) × R
    0.000383489999999986 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 2208.42725867791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44523792) × cos(0.44164342) × R
    0.000383489999999986 × 0.904050444309756 × 6371000     		du = 2208.78941644359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44164342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.904050444309756)×R²
    abs(0.44523792-0.44485443)×0.000148230015291295×R²
    0.000383489999999986×0.000148230015291295×6371000²
    0.000383489999999986×0.000148230015291295×40589641000000     		ar = 4878008.77477981m²