Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9351 / 9720
↖ ↑ ↗
← S 31.802893°
E 25.466308°		 ← 2 076.46 m → S 31.802893°
E 25.488281°		 →
↑
2 076.18 m
↓
↑
2 076.18 m
↓
S 31.821564°
E 25.466308°		 ← 2 076.04 m →
4 310 671 m²		 S 31.821564°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570770263671875 y=0.593292236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570770263671875 × 214)
    floor (0.570770263671875 × 16384)
    floor (9351.5)     		tx = 9351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593292236328125 × 214)
    floor (0.593292236328125 × 16384)
    floor (9720.5)     		ty = 9720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9351 / 9720 ti = "14/9351/9720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9351/9720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9351 ÷ 214
    9351 ÷ 16384     		x = 0.57073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9720 ÷ 214
    9720 ÷ 16384     		y = 0.59326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57073974609375 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44447093} λ = 0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585980660955566))-π/2
    2×atan(0.556559797641046)-π/2
    2×0.507865569756501-π/2
    1.015731139513-1.57079632675     		φ = -0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9351 KachelY 9720 0.44447093 -0.55506519 25.466308 -31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 9352 KachelY 9720 0.44485443 -0.55506519 25.488281 -31.802893
    Unten links KachelX 9351 KachelY + 1 9721 0.44447093 -0.55539107 25.466308 -31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 9352 KachelY + 1 9721 0.44485443 -0.55539107 25.488281 -31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55506519--0.55539107) × R
    0.000325880000000001 × 6371000     		dl = 2076.18148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55506519--0.55539107) × R
    0.000325880000000001 × 6371000     		dr = 2076.18148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44447093-0.44485443) × cos(-0.55506519) × R
    0.000383500000000037 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 2076.45953832019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44447093-0.44485443) × cos(-0.55539107) × R
    0.000383500000000037 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 2076.03982348182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55506519)-sin(-0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.849694303568596)×R²
    abs(0.44485443-0.44447093)×0.0001717834615933×R²
    0.000383500000000037×0.0001717834615933×6371000²
    0.000383500000000037×0.0001717834615933×40589641000000     		ar = 4310671.17349069m²