Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9350 / 5194
↖ ↑ ↗
← N 76.654449°
W 77.277832°		 ← 281.98 m → N 76.654449°
W 77.266846°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
N 76.651914°
W 77.277832°		 ← 282.04 m →
79 521 m²		 N 76.651914°
W 77.266846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285354614257812 y=0.158523559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285354614257812 × 215)
    floor (0.285354614257812 × 32768)
    floor (9350.5)     		tx = 9350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158523559570312 × 215)
    floor (0.158523559570312 × 32768)
    floor (5194.5)     		ty = 5194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9350 / 5194 ti = "15/9350/5194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9350/5194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9350 ÷ 215
    9350 ÷ 32768     		x = 0.28533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5194 ÷ 215
    5194 ÷ 32768     		y = 0.15850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.4293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.34875261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15850830078125 × 2 - 1) × π
    0.6829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14565562699371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34875261} λ = -1.34875261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14565562699371))-π/2
    2×atan(8.54764346639631)-π/2
    2×1.45433442873544-π/2
    2.90866885747089-1.57079632675     		φ = 1.33787253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34875261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33787253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.654449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9350 KachelY 5194 -1.34875261 1.33787253 -77.277832 76.654449
    Oben rechts KachelX + 1 9351 KachelY 5194 -1.34856086 1.33787253 -77.266846 76.654449
    Unten links KachelX 9350 KachelY + 1 5195 -1.34875261 1.33782827 -77.277832 76.651914
    Unten rechts KachelX + 1 9351 KachelY + 1 5195 -1.34856086 1.33782827 -77.266846 76.651914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33787253-1.33782827) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33787253-1.33782827) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34875261--1.34856086) × cos(1.33787253) × R
    0.000191749999999935 × 0.230823347721949 × 6371000     		do = 281.982861393436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34875261--1.34856086) × cos(1.33782827) × R
    0.000191749999999935 × 0.230866412284393 × 6371000     		du = 282.035470753201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33787253)-sin(1.33782827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230823347721949-0.230866412284393)×R²
    abs(-1.34856086--1.34875261)×4.30645624437953e-05×R²
    0.000191749999999935×4.30645624437953e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.30645624437953e-05×40589641000000     		ar = 79521.0743868714m²